Номер 334, страница 66 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \rho_д = 0,80 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 800 \frac{кг}{м^3} $

$ V = 10 \text{ дм}^3 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,01 \text{ м}^3 $

$ \Delta l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м} $

Плотность воды $ \rho_в = 1,0 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 1000 \frac{кг}{м^3} $

Ускорение свободного падения $ g \approx 10 \frac{Н}{кг} $

Найти:

$ k $

Решение:

Деревянный шар находится под водой в состоянии равновесия. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. На шар действуют три силы:

1. Сила тяжести $ F_т $, направленная вертикально вниз.

2. Архимедова (выталкивающая) сила $ F_A $, направленная вертикально вверх.

3. Сила упругости пружины $ F_{упр} $, направленная вертикально вниз, так как пружина растянута и удерживает шар от всплытия.

Запишем условие равновесия для шара в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$ F_A - F_т - F_{упр} = 0 $

Из этого уравнения следует, что выталкивающая сила уравновешивает сумму силы тяжести и силы упругости:

$ F_A = F_т + F_{упр} $

Выразим каждую из сил через известные величины.

Сила тяжести равна произведению массы шара $ m_д $ на ускорение свободного падения $ g $. Массу шара можно найти через его плотность $ \rho_д $ и объем $ V $:

$ F_т = m_д \cdot g = \rho_д \cdot V \cdot g $

Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Поскольку шар полностью погружен в воду, объем вытесненной воды равен объему шара $ V $:

$ F_A = \rho_в \cdot g \cdot V $

Сила упругости пружины находится по закону Гука, где $ k $ — искомая жесткость пружины, а $ \Delta l $ — ее удлинение:

$ F_{упр} = k \cdot \Delta l $

Подставим полученные выражения для сил в уравнение равновесия:

$ \rho_в \cdot g \cdot V = \rho_д \cdot V \cdot g + k \cdot \Delta l $

Теперь выразим из этого уравнения жесткость пружины $ k $:

$ k \cdot \Delta l = \rho_в \cdot g \cdot V - \rho_д \cdot V \cdot g $

$ k \cdot \Delta l = (\rho_в - \rho_д) \cdot g \cdot V $

$ k = \frac{(\rho_в - \rho_д) \cdot g \cdot V}{\Delta l} $

Подставим числовые значения в полученную формулу и выполним вычисления:

$ k = \frac{(1000 \frac{кг}{м^3} - 800 \frac{кг}{м^3}) \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0,01 \text{ м}^3}{0,1 \text{ м}} $

$ k = \frac{200 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 0,01 \text{ м}^3}{0,1 \text{ м}} = \frac{200 \cdot 0,1 \text{ Н}}{0,1 \text{ м}} = 200 \frac{Н}{м} $

Ответ: жесткость пружины $ k = 200 \frac{Н}{м} $.