Номер 333, страница 66 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Плотность деревянного шара, $\rho = 0,8 \cdot 10^3 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Модуль силы нормальной реакции дна сосуда, $N = 9 \, \text{Н}$

Объем погруженной части шара, $V_{погр} = \frac{1}{2} V$

Плотность воды, $\rho_{в} = 1 \cdot 10^3 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Объем шара $V$

Решение:

Шар находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шар действуют три силы:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз.

2. Выталкивающая сила или сила Архимеда ($F_A$), направленная вертикально вверх.

3. Сила нормальной реакции опоры ($N$), действующая со стороны дна сосуда и направленная вертикально вверх.

Запишем условие равновесия в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_A + N - F_т = 0$

Отсюда следует, что сила тяжести уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы реакции опоры:

$F_т = F_A + N$

Сила тяжести определяется по формуле:

$F_т = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g$

где $V$ - полный объем шара, а $\rho$ - его плотность.

Выталкивающая сила определяется по формуле:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}$

где $\rho_в$ - плотность воды, а $V_{погр}$ - объем погруженной части шара. По условию, шар погружен наполовину, поэтому $V_{погр} = \frac{V}{2}$.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho \cdot V \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{V}{2} + N$

Для нахождения объема $V$ перенесем все слагаемые, содержащие $V$, в одну часть уравнения:

$\rho \cdot V \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{V}{2} = N$

Вынесем общий множитель $V \cdot g$ за скобки:

$V \cdot g \left(\rho - \frac{\rho_{в}}{2}\right) = N$

Теперь выразим объем $V$:

$V = \frac{N}{g \left(\rho - \frac{\rho_{в}}{2}\right)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$V = \frac{9}{10 \cdot (0,8 \cdot 10^3 - \frac{1 \cdot 10^3}{2})} = \frac{9}{10 \cdot (800 - 500)} = \frac{9}{10 \cdot 300} = \frac{9}{3000} = 0,003 \, \text{м}^3$

Ответ: объем шара $V$ равен $0,003 \, \text{м}^3$.