Номер 336, страница 67 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_а = m_п = m$ (масса алюминия равна массе пробки)

Справочные данные:

Плотность воды: $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность алюминия: $\rho_а = 2700 \text{ кг/м}^3$

Плотность пробки: $\rho_п = 240 \text{ кг/м}^3$

Найти:

1. Сравнить силы $F_{уд,а}$ и $F_{уд,п}$, необходимые для удержания тел в воде.

2. Коэффициент изменения объема пробки $k = V'_{п} / V_п$.

Решение:

Что труднее удержать полностью погруженным в воду: кусок алюминия или кусок пробки, если они имеют одинаковую массу?

На тело, полностью погруженное в воду, действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А = \rho_в g V$, направленная вверх, где $m$ – масса тела, $V$ – его объем, $\rho_в$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения.

Сила удержания $F_{уд}$ необходима, чтобы скомпенсировать разницу между силой тяжести и выталкивающей силой.

Для куска алюминия:

Плотность алюминия больше плотности воды ($\rho_а > \rho_в$), поэтому он будет тонуть. Чтобы удержать его в воде (не дать утонуть), нужно приложить силу, направленную вверх. Величина этой силы равна:

$F_{уд,а} = F_т - F_{А,а} = mg - \rho_в g V_а$

Так как объем алюминия $V_а = m / \rho_а$, то:

$F_{уд,а} = mg - \rho_в g \frac{m}{\rho_а} = mg(1 - \frac{\rho_в}{\rho_а})$

Подставим числовые значения: $F_{уд,а} = mg(1 - \frac{1000}{2700}) = mg(1 - \frac{10}{27}) = \frac{17}{27}mg \approx 0.63mg$.

Для куска пробки:

Плотность пробки меньше плотности воды ($\rho_п < \rho_в$), поэтому она будет всплывать. Чтобы удержать ее полностью погруженной, нужно приложить силу, направленную вниз. Величина этой силы равна:

$F_{уд,п} = F_{А,п} - F_т = \rho_в g V_п - mg$

Так как объем пробки $V_п = m / \rho_п$, то:

$F_{уд,п} = \rho_в g \frac{m}{\rho_п} - mg = mg(\frac{\rho_в}{\rho_п} - 1)$

Подставим числовые значения: $F_{уд,п} = mg(\frac{1000}{240} - 1) = mg(\frac{25}{6} - 1) = \frac{19}{6}mg \approx 3.17mg$.

Сравнивая величины сил, видим, что $F_{уд,п} > F_{уд,а}$ ($\frac{19}{6}mg > \frac{17}{27}mg$). Следовательно, кусок пробки удержать полностью погруженным в воду труднее, чем кусок алюминия той же массы.

Ответ: Труднее удержать кусок пробки.

Во сколько раз k нужно изменить объем пробки по сравнению с первоначальным, чтобы оба тела можно было удержать в воде, действуя одинаковой силой?

Условие "действуя одинаковой силой" означает, что силы удержания для обоих тел должны быть равны как по величине, так и по направлению. Сила удержания для алюминия $\vec{F}_{уд,а}$ направлена вверх.

Следовательно, сила удержания для измененной пробки $\vec{F'}_{уд,п}$ также должна быть направлена вверх. Это возможно только в том случае, если измененная пробка будет тонуть, то есть ее новая плотность $\rho'_п$ станет больше плотности воды. Для этого необходимо уменьшить ее объем.

Сила удержания для тонущего тела направлена вверх и вычисляется по формуле $F_{уд} = F_т - F_А$. Таким образом, для измененной пробки:

$F'_{уд,п} = mg - F'_{А,п} = mg - \rho_в g V'_п$

где $V'_п$ – новый объем пробки.

Приравниваем силы удержания для алюминия и измененной пробки:

$F'_{уд,п} = F_{уд,а}$

$mg - \rho_в g V'_п = mg - \rho_в g V_а$

Из этого уравнения следует, что $\rho_в g V'_п = \rho_в g V_а$, или:

$V'_п = V_а$

Это означает, что новый объем пробки должен быть равен объему куска алюминия.

Найдем коэффициент $k$, который показывает, во сколько раз нужно изменить первоначальный объем пробки. По определению, $k = \frac{V'_п}{V_п}$.

Подставляем $V'_п = V_а$:

$k = \frac{V_а}{V_п}$

Выразим объемы через массу и плотность: $V_а = \frac{m}{\rho_а}$ и $V_п = \frac{m}{\rho_п}$.

$k = \frac{m/\rho_а}{m/\rho_п} = \frac{\rho_п}{\rho_а}$

Вычислим значение $k$:

$k = \frac{240 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} = \frac{24}{270} = \frac{4}{45}$

Так как $k < 1$, объем пробки необходимо уменьшить.

Ответ: Объем пробки нужно изменить в $k = \frac{4}{45}$ раза (то есть уменьшить в $\frac{45}{4} = 11.25$ раза).