Номер 318, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Длина лестницы, $l = 3,0$ м
Угол наклона к горизонту, $\alpha = 60^\circ$
Масса лестницы, $m = 15$ кг
Масса человека, $M = 60$ кг
Расстояние от человека до верхнего конца лестницы, $a = 1,0$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:
Модуль силы $F$, с которой нижний конец лестницы действует на пол, и ее направление.

Решение:
Лестница находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также равна нулю.
Рассмотрим силы, действующие на лестницу:
1. Сила тяжести лестницы $P_m = mg$, приложенная к ее центру (на расстоянии $l/2$ от нижнего конца).
2. Сила тяжести человека $P_M = Mg$, приложенная на расстоянии $l-a$ от нижнего конца.
3. Сила реакции гладкой стены $N_1$, направленная горизонтально.
4. Сила реакции пола. Эту силу удобно разложить на две составляющие: вертикальную (силу нормальной реакции) $N_2$ и горизонтальную (силу трения покоя) $F_{тр}$.

Запишем первое условие равновесия (равенство нулю суммы всех сил) в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально вправо, ось OY - вертикально вверх.
Сумма проекций сил на ось OX: $N_1 - F_{тр} = 0$, откуда $F_{тр} = N_1$.
Сумма проекций сил на ось OY: $N_2 - mg - Mg = 0$, откуда $N_2 = (m+M)g$.

Вычислим вертикальную составляющую силы реакции пола:
$N_2 = (15 \text{ кг} + 60 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 75 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 735 \text{ Н}$.

Запишем второе условие равновесия (равенство нулю суммы моментов сил) относительно точки опоры лестницы на пол (точки O). Моменты сил $N_2$ и $F_{тр}$ относительно этой точки равны нулю. Моменты сил тяжести $mg$ и $Mg$ вращают лестницу по часовой стрелке (будем считать их отрицательными), а момент силы реакции стены $N_1$ вращает против часовой стрелки (положительный).
$\sum M_O = 0 \implies N_1 \cdot l \sin(\alpha) - mg \cdot \frac{l}{2} \cos(\alpha) - Mg \cdot (l-a) \cos(\alpha) = 0$

Из этого уравнения выразим $N_1$:
$N_1 l \sin(\alpha) = \left(mg \frac{l}{2} + Mg(l-a)\right) \cos(\alpha)$
$N_1 = \frac{\cos(\alpha)}{l \sin(\alpha)} \left(mg \frac{l}{2} + Mg(l-a)\right) = \cot(\alpha) \left(g\frac{m}{2} + Mg\left(1-\frac{a}{l}\right)\right)$
Подставим числовые значения:
$N_1 = \cot(60^\circ) \left(9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{15 \text{ кг}}{2} + 60 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \left(1-\frac{1,0 \text{ м}}{3,0 \text{ м}}\right)\right)$
$N_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(73,5 \text{ Н} + 588 \text{ Н} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} (73,5 \text{ Н} + 392 \text{ Н}) = \frac{465,5 \text{ Н}}{\sqrt{3}} \approx 268,75 \text{ Н}$.
Поскольку $F_{тр} = N_1$, то $F_{тр} \approx 268,75 \text{ Н}$.

Сила реакции пола на лестницу $F_{реакции}$ является векторной суммой $N_2$ и $F_{тр}$. Ее модуль равен:
$F_{реакции} = \sqrt{N_2^2 + F_{тр}^2} = \sqrt{(735 \text{ Н})^2 + (268,75 \text{ Н})^2} \approx \sqrt{540225 + 72227} \text{ Н} = \sqrt{612452} \text{ Н} \approx 782,6 \text{ Н}$.

По третьему закону Ньютона, сила $F$, с которой лестница действует на пол, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции пола $F_{реакции}$.
Следовательно, модуль искомой силы $F = F_{реакции} \approx 783 \text{ Н}$.

Найдем направление силы $F_{реакции}$. Она направлена вверх и вправо под углом $\beta$ к горизонту, где:
$\tan(\beta) = \frac{N_2}{F_{тр}} = \frac{735}{268,75} \approx 2,735$
$\beta = \arctan(2,735) \approx 69,9^\circ \approx 70^\circ$
Сила $F$, с которой лестница действует на пол, направлена в противоположную сторону, то есть вниз и влево под тем же углом $70^\circ$ к горизонту.

Ответ:
Модуль силы, с которой нижний конец лестницы действует на пол, $F \approx 783$ Н. Эта сила направлена вниз и влево под углом примерно $70^\circ$ к поверхности пола.