Номер 306, страница 63 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса бруска, $m = 2,0$ кг

Коэффициент трения, $\mu = 0,40$

Угол наклона плоскости, $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Модуль силы, $F$ — ?

Решение:

На брусок, находящийся на наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно плоскости; сила трения покоя ($\vec{F}_{тр}$), направленная вдоль плоскости вверх (так как брусок стремится соскользнуть вниз); и приложенная сила ($\vec{F}$), направленная перпендикулярно плоскости (вдавливая брусок в плоскость, чтобы увеличить силу трения).

Выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Для того чтобы брусок не соскальзывал, он должен находиться в состоянии покоя. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю:

$\vec{F} + \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{тр} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $OY$ (перпендикулярно плоскости):

$N - F - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = F + mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось $OX$ (вдоль плоскости):

$mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Условие, что брусок не соскальзывает, означает, что сила трения покоя уравновешивает скатывающую силу. Максимальная сила трения покоя равна $F_{тр.макс} = \mu N$. Чтобы найти минимальную силу $F$, необходимую для удержания бруска, мы рассматриваем предельный случай, когда сила трения достигает своего максимального значения:

$F_{тр} = F_{тр.макс} = \mu N$

Подставим это в уравнение для оси $OX$:

$mg \sin(\alpha) = \mu N$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $N$, найденное ранее:

$mg \sin(\alpha) = \mu (F + mg \cos(\alpha))$

Решим это уравнение относительно искомой силы $F$:

$\frac{mg \sin(\alpha)}{\mu} = F + mg \cos(\alpha)$

$F = \frac{mg \sin(\alpha)}{\mu} - mg \cos(\alpha)$

$F = mg \left( \frac{\sin(\alpha)}{\mu} - \cos(\alpha) \right)$

Подставим числовые значения:

$F = 2,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \left( \frac{\sin(60^\circ)}{0,40} - \cos(60^\circ) \right)$

Используем значения тригонометрических функций: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$.

$F = 19,6 \text{ Н} \left( \frac{0,866}{0,40} - 0,5 \right)$

$F = 19,6 \text{ Н} (2,165 - 0,5)$

$F = 19,6 \text{ Н} \cdot 1,665$

$F \approx 32,634 \text{ Н}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$F \approx 33 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы, которую необходимо приложить к бруску, равен приблизительно $33$ Н.