Номер 293, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0 \text{ м}$

$m = 0,10 \text{ кг}$

$\alpha_1 = 30^\circ$

$\alpha_2 = 60^\circ$

Найти:

$\frac{a_1}{a_2}$

Решение:

Тело, вращающееся на нити в горизонтальной плоскости, представляет собой конический маятник. На тело действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a}$, направленное горизонтально к центру окружности, по которой движется тело.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{g} + \vec{T} = m\vec{a}$.

Введем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности. Спроецируем уравнение на эти оси. Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

Проекция на ось $OY$:

$T \cos(\alpha) - mg = 0$

Отсюда следует, что $T \cos(\alpha) = mg$. (1)

Проекция на ось $OX$:

$T \sin(\alpha) = ma$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{ma}{mg}$

Сократив $T$ и $m$, получим:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{g}$

Отсюда выразим модуль ускорения:

$a = g \tan(\alpha)$

Эта формула показывает, что ускорение тела зависит только от угла отклонения нити от вертикали и ускорения свободного падения. Масса тела и длина нити не влияют на величину ускорения.

Теперь найдем ускорения для двух заданных углов.

Для угла $\alpha_1 = 30^\circ$ ускорение равно:

$a_1 = g \tan(\alpha_1) = g \tan(30^\circ)$

Для угла $\alpha_2 = 60^\circ$ ускорение равно:

$a_2 = g \tan(\alpha_2) = g \tan(60^\circ)$

Найдем отношение модулей этих ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{g \tan(30^\circ)}{g \tan(60^\circ)} = \frac{\tan(30^\circ)}{\tan(60^\circ)}$

Подставим известные значения тангенсов: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$.