Номер 288, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сила реакции опоры в нижней точке: $N_1 = 5mg$

Сила реакции опоры в верхней точке (состояние невесомости): $N_2 = 0$

Найти:

Отношение скоростей $n = \frac{v_1}{v_2}$

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона для движения тела по окружности в двух точках траектории: нижней и верхней.

1. Нижняя точка траектории

На летчика в нижней точке действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N_1$ со стороны сиденья, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_{c1}$, направленное к центру петли (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_1 - mg = m a_{c1}$

Центростремительное ускорение в нижней точке равно $a_{c1} = \frac{v_1^2}{R}$, где $v_1$ – скорость самолета в этой точке, а $R$ – радиус петли.

$N_1 - mg = m \frac{v_1^2}{R}$

По условию задачи, сила, с которой летчик давит на сиденье, в пять раз больше силы тяжести. По третьему закону Ньютона, сила реакции опоры $N_1$ равна этой силе, то есть $N_1 = 5mg$.

Подставляем это значение в уравнение:

$5mg - mg = m \frac{v_1^2}{R}$

$4mg = m \frac{v_1^2}{R}$

Отсюда находим квадрат скорости в нижней точке:

$v_1^2 = 4gR$

2. Верхняя точка траектории

В верхней точке на летчика действуют сила тяжести $F_g = mg$ и сила реакции опоры $N_2$. Обе силы направлены вертикально вниз, к центру петли. Их равнодействующая создает центростремительное ускорение $a_{c2}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$N_2 + mg = m a_{c2}$

Центростремительное ускорение в верхней точке равно $a_{c2} = \frac{v_2^2}{R}$, где $v_2$ – скорость самолета в этой точке.

$N_2 + mg = m \frac{v_2^2}{R}$

По условию, в верхней точке летчик испытывает состояние невесомости. Это означает, что он не давит на опору, и сила реакции опоры равна нулю: $N_2 = 0$.

Подставляем это значение в уравнение:

$0 + mg = m \frac{v_2^2}{R}$

$mg = m \frac{v_2^2}{R}$

Отсюда находим квадрат скорости в верхней точке:

$v_2^2 = gR$

3. Нахождение отношения скоростей

Теперь мы можем найти отношение $n = \frac{v_1}{v_2}$. Для этого разделим выражение для $v_1^2$ на выражение для $v_2^2$:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{4gR}{gR} = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$n = \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: скорость самолета в нижней точке больше, чем в верхней, в 2 раза.