Номер 281, страница 57 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 50$ см

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$v_{min}$ — модуль наименьшей скорости ведерка в верхней точке траектории.

Решение:

Для того чтобы вода не выливалась из ведерка в верхней точке траектории, она должна оставаться прижатой ко дну. Рассмотрим силы, действующие на воду в этот момент. На воду действуют две силы, обе направленные вертикально вниз, к центру окружности:

1. Сила тяжести $F_т = mg$, где $m$ — масса воды.
2. Сила реакции опоры $N$ со стороны дна ведерка.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает воде центростремительное ускорение $a_ц$, которое также направлено к центру окружности:

$mg + N = ma_ц$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $l$ со скоростью $v$, равно $a_ц = \frac{v^2}{l}$. Подставим это выражение в уравнение сил:

$mg + N = m\frac{v^2}{l}$

Условие, при котором вода не выливается, заключается в том, что она продолжает давить на дно ведерка, то есть сила реакции опоры должна быть неотрицательной: $N \ge 0$.

Наименьшая возможная скорость $v_{min}$ соответствует пограничному случаю, когда вода находится на грани отрыва от дна. В этот момент сила реакции опоры становится равной нулю, $N = 0$.

Подставим $N = 0$ в наше уравнение, чтобы найти минимальную скорость $v_{min}$:

$mg + 0 = m\frac{v_{min}^2}{l}$

$mg = m\frac{v_{min}^2}{l}$

Мы можем сократить массу воды $m$ в обеих частях уравнения, так как результат не зависит от нее:

$g = \frac{v_{min}^2}{l}$

Теперь выразим $v_{min}$ из этого уравнения:

$v_{min}^2 = gl$

$v_{min} = \sqrt{gl}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{min} = \sqrt{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.5 \text{ м}} = \sqrt{4.9 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2.21 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Если скорость в верхней точке будет меньше этого значения, то сила тяжести окажется больше, чем требуемая центростремительная сила, и вода оторвется от дна, то есть выльется.

Ответ: модуль наименьшей скорости ведерка в верхней точке траектории должен быть примерно $2.21$ м/с.