Номер 278, страница 56 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 0,10 \text{ км}$
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$
$m = 5,0 \text{ кг}$

$R = 0,10 \text{ км} = 100 \text{ м}$
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$F_{упр}$

Решение:

Пружинные весы показывают модуль силы упругости, $\vec{F}_{упр}$, которая действует на груз. В инерциальной системе отсчета, связанной с землей, на груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости $\vec{F}_{упр}$.

Поскольку поезд движется по закруглению, груз также движется по дуге окружности с центростремительным ускорением $\vec{a}_ц$, которое направлено горизонтально к центру кривизны. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на груз, равна произведению его массы на ускорение:

$\vec{F}_{упр} + m\vec{g} = m\vec{a}_ц$

Для нахождения модуля силы $F_{упр}$ (показаний весов) спроецируем это векторное уравнение на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру закругления. В этом случае сила упругости $\vec{F}_{упр}$ будет иметь две перпендикулярные составляющие: вертикальную $F_{упр, y}$ и горизонтальную $F_{упр, x}$.

В проекции на ось OY (вертикальную):

$F_{упр, y} - mg = 0 \implies F_{упр, y} = mg$

Вертикальная составляющая силы упругости уравновешивает силу тяжести.

В проекции на ось OX (горизонтальную):

$F_{упр, x} = ma_ц$

Горизонтальная составляющая силы упругости создает центростремительное ускорение.

Величина центростремительного ускорения вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Полная сила упругости, которую показывают весы, является векторной суммой ее компонент. Так как компоненты перпендикулярны, ее модуль можно найти по теореме Пифагора:

$F_{упр} = \sqrt{F_{упр, x}^2 + F_{упр, y}^2} = \sqrt{(ma_ц)^2 + (mg)^2} = \sqrt{(m\frac{v^2}{R})^2 + (mg)^2}$

Выполним вычисления, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Вычислим компоненты силы упругости:

$F_{упр, x} = m\frac{v^2}{R} = 5,0 \text{ кг} \cdot \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{100 \text{ м}} = 5,0 \text{ кг} \cdot \frac{400 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{100 \text{ м}} = 20 \text{ Н}$

$F_{упр, y} = mg = 5,0 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 50 \text{ Н}$

Теперь найдем модуль полной силы упругости:

$F_{упр} = \sqrt{(20 \text{ Н})^2 + (50 \text{ Н})^2} = \sqrt{400 \text{ Н}^2 + 2500 \text{ Н}^2} = \sqrt{2900 \text{ Н}^2} \approx 53,85 \text{ Н}$

Учитывая, что исходные данные предоставлены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

$F_{упр} \approx 54 \text{ Н}$

Ответ: $F_{упр} \approx 54 \text{ Н}$.