Номер 272, страница 55 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 40$ г

$l_0 = 50$ см

$k = 9,8$ Н/м

$\Delta l = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$m = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,04$ кг

$l_0 = 50 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,5$ м

$\Delta l = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1$ м

Найти:

$v$ - ?

Решение:

При равномерном вращении камня по окружности на него действует центростремительная сила. В данном случае роль центростремительной силы выполняет сила упругости резинового шнура.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$ связана с массой $m$, скоростью $v$ и радиусом вращения $r$ следующим соотношением:

$F_ц = m \cdot a_ц = \frac{m v^2}{r}$

Сила упругости $F_{упр}$, возникающая в шнуре при его растяжении, определяется законом Гука:

$F_{упр} = k \cdot \Delta l$

где $k$ – жесткость шнура, а $\Delta l$ – его удлинение.

Так как сила упругости и есть центростремительная сила, мы можем приравнять их выражения:

$F_{упр} = F_ц$

$k \cdot \Delta l = \frac{m v^2}{r}$

Радиус вращения $r$ равен длине растянутого шнура, то есть сумме его начальной длины $l_0$ и удлинения $\Delta l$:

$r = l_0 + \Delta l$

Подставим выражение для радиуса в наше уравнение:

$k \cdot \Delta l = \frac{m v^2}{l_0 + \Delta l}$

Теперь выразим из этого уравнения скорость $v$:

$m v^2 = k \cdot \Delta l (l_0 + \Delta l)$

$v^2 = \frac{k \cdot \Delta l (l_0 + \Delta l)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{k \cdot \Delta l (l_0 + \Delta l)}{m}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$r = 0,5 \text{ м} + 0,1 \text{ м} = 0,6$ м

$v = \sqrt{\frac{9,8 \frac{Н}{м} \cdot 0,1 \text{ м} \cdot (0,5 \text{ м} + 0,1 \text{ м})}{0,04 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,1 \cdot 0,6}{0,04}} \frac{м}{с} = \sqrt{\frac{0,588}{0,04}} \frac{м}{с} = \sqrt{14,7} \frac{м}{с} \approx 3,83 \frac{м}{с}$

Ответ: $v \approx 3,83$ м/с.