Номер 265, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 1,50 \text{ км}$

$v_1 = 200 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 900 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 1,50 \cdot 10^3 \text{ м} = 1500 \text{ м}$

Найти:

$\alpha - ?$

$t - ?$

Решение:

Введем систему координат, в которой начало совпадает с орудием, ось $Ox$ направлена горизонтально в сторону движения самолета, а ось $Oy$ – вертикально вверх. Выстрел производится в момент времени $t=0$, когда самолет находится над орудием.

Запишем уравнения движения для самолета (индекс 1) и снаряда (индекс 2).

Для самолета, движущегося равномерно и прямолинейно на высоте $h$:

$x_1(t) = v_1 t$

$y_1(t) = h$

Для снаряда, выпущенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_2$:

$x_2(t) = (v_2 \cos \alpha) t$

$y_2(t) = (v_2 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Для того чтобы снаряд попал в самолет, их координаты в момент времени $t$ должны совпасть: $x_1(t) = x_2(t)$ и $y_1(t) = y_2(t)$.

Под каким углом $\alpha$ к горизонту следует произвести выстрел, чтобы попасть в самолет?

Приравняем координаты по оси $Ox$:

$v_1 t = (v_2 \cos \alpha) t$

Поскольку время $t$ до попадания не равно нулю, мы можем сократить $t$:

$v_1 = v_2 \cos \alpha$

Отсюда выразим косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим числовые значения:

$\cos \alpha = \frac{200}{900} = \frac{2}{9}$

Тогда угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{9}\right) \approx 77,2^{\circ}$

Ответ: $\alpha \approx 77,2^{\circ}$

Определите момент времени t, соответствующий попаданию в цель.

Приравняем координаты по оси $Oy$:

$h = (v_2 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Поскольку выстрел производится вверх, угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$, поэтому $\sin \alpha > 0$.

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{81}} = \sqrt{\frac{77}{81}} = \frac{\sqrt{77}}{9}$

Подставим известные значения в уравнение для $y$:

$1500 = \left(900 \cdot \frac{\sqrt{77}}{9}\right) t - \frac{9,8 t^2}{2}$

$1500 = 100\sqrt{77} t - 4,9 t^2$

Получили квадратное уравнение относительно $t$:

$4,9 t^2 - 100\sqrt{77} t + 1500 = 0$

Решим это уравнение. $100\sqrt{77} \approx 100 \cdot 8,775 = 877,5$.

$4,9 t^2 - 877,5 t + 1500 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-877,5)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot 1500 = 770006,25 - 29400 = 740606,25$

$\sqrt{D} \approx 860,58$

Находим корни уравнения:

$t_{1} = \frac{877,5 - 860,58}{2 \cdot 4,9} = \frac{16,92}{9,8} \approx 1,73 \text{ с}$

$t_{2} = \frac{877,5 + 860,58}{2 \cdot 4,9} = \frac{1738,08}{9,8} \approx 177,4 \text{ с}$

Оба решения физически возможны. Первое значение ($t_1$) соответствует попаданию в цель, когда снаряд еще поднимается, а второе ($t_2$) — когда снаряд уже опускается после достижения максимальной высоты. В контексте задачи обычно имеется в виду наименьшее время, необходимое для поражения цели.

Ответ: $t \approx 1,73 \text{ с}$