Номер 258, страница 53 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 30 \, \text{м/с}$

$\alpha = 60^\circ$ (угол к вертикали)

$\Delta t = 2,0 \, \text{с}$

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с точкой бросания. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета поместим в точку бросания. В этом случае начальная координата обоих тел по оси OY равна нулю ($y_0 = 0$).

Закон движения тела в поле тяжести по вертикальной оси описывается уравнением:

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{g_y t^2}{2}$

Поскольку ось OY направлена вверх, проекция ускорения свободного падения на нее будет $g_y = -g$. Тогда уравнение принимает вид:

$y(t) = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}$

Найдем проекцию начальной скорости на вертикальную ось OY. По условию, угол $\alpha$ дан к вертикали, следовательно, вертикальная составляющая начальной скорости равна $v_{0y} = v_0 \cos\alpha$.

Для первого тела, брошенного вверх, вертикальная составляющая начальной скорости положительна:

$v_{0y1} = v_0 \cos\alpha$

Для второго тела, брошенного вниз, вертикальная составляющая начальной скорости отрицательна:

$v_{0y2} = -v_0 \cos\alpha$

Теперь запишем уравнения для определения высоты (вертикальной координаты) каждого тела в момент времени $\Delta t$:

Высота первого тела:

$h_1 = y_1(\Delta t) = v_{0y1} \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2} = (v_0 \cos\alpha) \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Высота второго тела:

$h_2 = y_2(\Delta t) = v_{0y2} \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2} = (-v_0 \cos\alpha) \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Разность высот $\Delta h$ равна разности их координат:

$\Delta h = h_1 - h_2 = \left( (v_0 \cos\alpha) \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2} \right) - \left( (-v_0 \cos\alpha) \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2} \right)$

Раскрываем скобки:

$\Delta h = v_0 \cos\alpha \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2} + v_0 \cos\alpha \Delta t + \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Слагаемые, содержащие ускорение свободного падения $g$, взаимно уничтожаются. Это означает, что разность высот не зависит от ускорения свободного падения, так как оно одинаково влияет на оба тела.

$\Delta h = 2 v_0 \cos\alpha \Delta t$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\cos(60^\circ) = 0,5$

$\Delta h = 2 \cdot 30 \, \text{м/с} \cdot 0,5 \cdot 2,0 \, \text{с} = 60 \, \text{м}$

Ответ: разность высот, на которых будут находиться тела через 2,0 с, составит 60 м.