Номер 255, страница 53 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 0,50 \frac{км}{с}$

$\alpha = 30^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$.

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 0,50 \frac{км}{с} = 0,50 \times 1000 \frac{м}{с} = 500 \frac{м}{с}$

Найти:

$\Delta t$ - ?

$l$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение снаряда в системе координат, где ось Ox направлена горизонтально, а ось Oy — вертикально вверх. Начало координат находится в точке вылета снаряда. Сопротивление воздуха не учитываем.

Движение снаряда представляет собой сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали с ускорением $a_y = -g$.

Разложим начальную скорость $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнения движения для координат снаряда в любой момент времени $t$:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

1. Нахождение времени полета $\Delta t$

Полное время полета $\Delta t$ — это время, за которое снаряд вернется на начальную высоту, то есть его вертикальная координата $y$ станет равной нулю.

$y(\Delta t) = v_0 \sin(\alpha) \Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2} = 0$

Вынося $\Delta t$ за скобки, получаем: $\Delta t (v_0 \sin(\alpha) - \frac{g \Delta t}{2}) = 0$.

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент выстрела) и $t_2 = \Delta t$ (момент падения), которое находится из условия:

$v_0 \sin(\alpha) - \frac{g \Delta t}{2} = 0 \implies \Delta t = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \frac{2 \times 500 \frac{м}{с} \times \sin(30^\circ)}{9,8 \frac{м}{с^2}} = \frac{1000 \times 0,5}{9,8} с = \frac{500}{9,8} с \approx 51,02 с$

С учетом двух значащих цифр в начальной скорости, округляем время до $51$ с.

2. Нахождение дальности полета $l$

Дальность полета $l$ — это расстояние по горизонтали, которое снаряд пролетел за время $\Delta t$.

$l = x(\Delta t) = v_0 \cos(\alpha) \Delta t$

Подставим в эту формулу выражение для $\Delta t$:

$l = v_0 \cos(\alpha) \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:

$l = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$l = \frac{(500 \frac{м}{с})^2 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9,8 \frac{м}{с^2}} = \frac{250000 \times \sin(60^\circ)}{9,8} м \approx \frac{250000 \times 0,866}{9,8} м \approx 22092 м$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $l \approx 22000 м$, что составляет $22$ км.

Ответ: снаряд находился в воздухе в течение промежутка времени $\Delta t \approx 51$ с и упал на поверхность Земли на расстоянии $l \approx 22$ км от орудия.