Номер 261, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$L = 3H$

Найти:

$\alpha$

Решение:

Запишем формулы для дальности полета ($L$) и максимальной высоты подъема ($H$) тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Дальность полета определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема определяется по формуле:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

где $g$ – ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, дальность полета втрое больше максимальной высоты, то есть $L = 3H$.

Подставим выражения для $L$ и $H$ в это соотношение:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = 3 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Сократим одинаковые множители ($v_0^2$ и $g$) в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю:

$\sin(2\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin^2(\alpha)$

Поскольку тело брошено под углом к горизонту, угол $\alpha$ отличен от $0^\circ$ и $180^\circ$, следовательно $\sin(\alpha) \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\sin(\alpha)$:

$2\cos(\alpha) = \frac{3}{2} \sin(\alpha)$

Чтобы найти тангенс угла, разделим обе части на $\cos(\alpha)$ (так как для полета угол $\alpha \neq 90^\circ$, то $\cos(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{2}{3/2}$

$\tan(\alpha) = \frac{4}{3}$

Отсюда находим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$

Приблизительное значение угла в градусах:

$\alpha \approx 53,13^\circ$

Ответ: Тело надо бросить под углом $\alpha = \arctan(4/3) \approx 53,13^\circ$ к горизонту.