Номер 263, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль начальной скорости тела $v_0$ = const

Ускорение свободного падения $g$ = const

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $L$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось Ox) и равноускоренного по вертикали (ось Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

• Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$
• Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Уравнения движения тела по осям координат имеют вид:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы найти дальность полета $L$, необходимо сначала определить полное время полета $t_{полн}$. Полет завершается, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть когда его вертикальная координата $y(t)$ снова становится равной нулю.

$y(t_{полн}) = (v_0 \sin \alpha) t_{полн} - \frac{gt_{полн}^2}{2} = 0$

Вынесем $t_{полн}$ за скобки:

$t_{полн} \left( v_0 \sin \alpha - \frac{gt_{полн}}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: $t = 0$ (начальный момент времени) и $v_0 \sin \alpha - \frac{gt_{полн}}{2} = 0$. Второе решение соответствует моменту падения. Выразим из него время полета:

$t_{полн} = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$

Дальность полета $L$ – это горизонтальное расстояние, которое тело преодолело за полное время полета $t_{полн}$.

$L = x(t_{полн}) = (v_0 \cos \alpha) t_{полн}$

Подставим найденное выражение для $t_{полн}$:

$L = (v_0 \cos \alpha) \left( \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} \right) = \frac{v_0^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g}$

Применяя тригонометрическое тождество двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получаем окончательную формулу для дальности полета:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы видно, что при заданной начальной скорости $v_0$ дальность полета $L$ зависит только от угла броска $\alpha$. Чтобы дальность $L$ была наибольшей, необходимо, чтобы значение $\sin(2\alpha)$ было максимальным.

Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство достигается, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

Отсюда находим искомый угол:

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, максимальная дальность полета при заданной начальной скорости достигается при угле бросания $45^\circ$ к горизонту.

Ответ: Чтобы дальность полета была наибольшей, тело нужно бросить под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту.