Номер 257, страница 53 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 10 \frac{м}{с}$

$v = 8,0 \frac{м}{с}$

$\Delta t = 1,0 \text{ с}$

Найти:

$\alpha$

Решение:

Движение камня, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Разложим начальную скорость $v_0$ на горизонтальную и вертикальную составляющие. Пусть $\alpha$ — искомый угол к горизонту.

Горизонтальная составляющая начальной скорости: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$.

Вертикальная составляющая начальной скорости: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$.

Поскольку сопротивление воздуха не учитывается, горизонтальная составляющая скорости остается постоянной в течение всего полета. Вертикальная составляющая изменяется под действием силы тяжести.

Через промежуток времени $\Delta t$ компоненты скорости будут равны:

$v_x = v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_y = v_{0y} - g \Delta t = v_0 \sin\alpha - g \Delta t$

Модуль скорости $v$ в этот момент времени определяется по теореме Пифагора для компонент скорости:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2$

Подставим выражения для $v_x$ и $v_y$:

$v^2 = (v_0 \cos\alpha)^2 + (v_0 \sin\alpha - g \Delta t)^2$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$v^2 = v_0^2 \cos^2\alpha + v_0^2 \sin^2\alpha - 2 v_0 g \Delta t \sin\alpha + (g \Delta t)^2$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$v^2 = v_0^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2 v_0 g \Delta t \sin\alpha + (g \Delta t)^2$

$v^2 = v_0^2 - 2 v_0 g \Delta t \sin\alpha + (g \Delta t)^2$

Из этого уравнения выразим $\sin\alpha$:

$2 v_0 g \Delta t \sin\alpha = v_0^2 - v^2 + (g \Delta t)^2$

$\sin\alpha = \frac{v_0^2 - v^2 + (g \Delta t)^2}{2 v_0 g \Delta t}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\sin\alpha = \frac{(10)^2 - (8,0)^2 + (10 \cdot 1,0)^2}{2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1,0} = \frac{100 - 64 + 100}{200} = \frac{136}{200} = 0,68$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arcsin(0,68) \approx 42,84^\circ$

С учетом точности исходных данных, округлим результат.

Ответ: $ \alpha \approx 43^\circ $.