Номер 264, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$H$ - высота подъема тела

$L$ - дальность полета тела

$H = \frac{1}{2}L$

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (при пренебрежении сопротивлением воздуха), описывается стандартными кинематическими формулами.

Максимальная высота подъема $H$ определяется по формуле:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Дальность полета $L$ определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $v_0$ — начальная скорость тела, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, высота подъема составляет половину дальности полета:

$H = \frac{L}{2}$

Подставим в это соотношение выражения для $H$ и $L$:

$\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{v_0^2}{2g}$ (поскольку $v_0 \neq 0$ и $g \neq 0$):

$\sin^2(\alpha) = \sin(2\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

$\sin^2(\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin^2(\alpha) - 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 0$

$\sin(\alpha) (\sin(\alpha) - 2 \cos(\alpha)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin(\alpha) = 0$. Это соответствует углу $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$. Этот случай является тривиальным (тело брошено горизонтально или не брошено вверх) и не рассматривается в контексте задачи.

2. $\sin(\alpha) - 2 \cos(\alpha) = 0$.

Решим второе уравнение:

$\sin(\alpha) = 2 \cos(\alpha)$

Разделим обе части на $\cos(\alpha)$. Это допустимо, так как если $\cos(\alpha) = 0$ (т.е. $\alpha = 90^\circ$), то $\sin(\alpha) = 1$, и уравнение $1 = 2 \cdot 0$ было бы неверным. Следовательно, $\cos(\alpha) \neq 0$.

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2$

Используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\tan(\alpha) = 2$

Отсюда угол $\alpha$ равен арктангенсу двух:

$\alpha = \arctan(2)$

Что приблизительно составляет $63,43^\circ$.

Ответ: Тело следует бросить под углом $\alpha = \arctan(2) \approx 63,4^\circ$ к горизонту.