Номер 262, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Тело 1: начальная скорость $\vec{v}_{01}$
Тело 2: начальная скорость $\vec{v}_{02}$
Ускорение обоих тел: $\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = \vec{g}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

Доказать, что относительная скорость $\vec{v}_{отн}$ постоянна по модулю и направлению, т.е. $\vec{v}_{отн} = const$.

Решение:

Движение каждого из тел в поле силы тяжести (при пренебрежении сопротивлением воздуха) является равноускоренным. Ускорение для обоих тел одинаково и равно ускорению свободного падения $\vec{g}$.

Запишем уравнение для вектора скорости первого тела в произвольный момент времени $t$:
$\vec{v}_1(t) = \vec{v}_{01} + \vec{g}t$

Аналогично, уравнение для вектора скорости второго тела в тот же момент времени $t$:
$\vec{v}_2(t) = \vec{v}_{02} + \vec{g}t$

Относительная скорость второго тела относительно первого определяется как векторная разность их скоростей:
$\vec{v}_{отн}(t) = \vec{v}_2(t) - \vec{v}_1(t)$

Подставим выражения для скоростей $\vec{v}_1(t)$ и $\vec{v}_2(t)$ в это уравнение:
$\vec{v}_{отн}(t) = (\vec{v}_{02} + \vec{g}t) - (\vec{v}_{01} + \vec{g}t)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\vec{v}_{отн}(t) = \vec{v}_{02} + \vec{g}t - \vec{v}_{01} - \vec{g}t$
$\vec{v}_{отн}(t) = \vec{v}_{02} - \vec{v}_{01}$

Полученное выражение показывает, что относительная скорость двух тел в любой момент времени $t$ равна постоянному вектору, равному разности их начальных скоростей. Так как векторы начальных скоростей $\vec{v}_{01}$ и $\vec{v}_{02}$ являются константами, их разность также является константой.

Постоянный вектор имеет постоянный модуль (длину) и постоянное направление. Таким образом, и модуль, и направление относительной скорости двух тел остаются неизменными на протяжении всего их движения.

Ответ: Относительная скорость тел равна векторной разности их начальных скоростей: $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{02} - \vec{v}_{01}$. Поскольку начальные скорости являются постоянными векторами, их разность также является постоянным вектором. Следовательно, модуль и направление относительной скорости постоянны во время движения.