Номер 267, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость (горизонтальная) $v_0 = 15 \frac{м}{с}$

Промежуток времени $\Delta t = 1.0 \ с$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$

Найти:

Модули составляющих ускорения $a_1$ и $a_2$.

Решение:

Движение камня, брошенного горизонтально, происходит под действием только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Поэтому ускорение камня постоянно, равно ускорению свободного падения $\vec{g}$ и направлено вертикально вниз. Модуль полного ускорения $a=g$.

Мы ищем компоненты этого ускорения: $a_1$ (тангенциальная составляющая, направленная вдоль вектора мгновенной скорости $\vec{v}$) и $a_2$ (нормальная составляющая, направленная перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$). Векторы $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ являются перпендикулярными проекциями вектора $\vec{g}$, поэтому $g^2 = a_1^2 + a_2^2$.

Введем систему координат: ось OX направим горизонтально, ось OY – вертикально вниз. Проекции скорости на оси в момент времени $t$ равны:

$v_x(t) = v_0$ (так как в горизонтальном направлении нет силы)

$v_y(t) = g \cdot t$ (равноускоренное движение вниз с начальной скоростью 0)

Через промежуток времени $\Delta t = 1.0 \ с$ после начала движения компоненты скорости будут:

$v_x = 15 \frac{м}{с}$

$v_y = 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 1.0 \ с = 9.8 \frac{м}{с}$

Вектор полного ускорения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз, то есть вдоль оси OY. Пусть $\alpha$ - это угол, который вектор скорости $\vec{v}$ составляет с горизонтальной осью OX. Тогда угол между вектором $\vec{v}$ и вектором $\vec{g}$ (ось OY) будет $90^\circ - \alpha$.

Составляющая ускорения вдоль скорости (тангенциальная) $a_1$ - это проекция $\vec{g}$ на направление $\vec{v}$:

$a_1 = g \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = g \cdot \sin\alpha$

Составляющая ускорения, перпендикулярная скорости (нормальная) $a_2$ - это проекция $\vec{g}$ на направление, перпендикулярное $\vec{v}$:

$a_2 = g \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = g \cdot \cos\alpha$

Выразим синус и косинус через компоненты скорости. Сначала найдем модуль скорости $v$ в данный момент времени:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(15 \frac{м}{с})^2 + (9.8 \frac{м}{с})^2} = \sqrt{225 + 96.04} \frac{м}{с} = \sqrt{321.04} \frac{м}{с} \approx 17.92 \frac{м}{с}$

Теперь найдем синус и косинус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{v_y}{v}$

$\cos\alpha = \frac{v_x}{v}$

Подставим эти выражения в формулы для $a_1$ и $a_2$.

$a_1$

Модуль составляющей ускорения, направленной вдоль скорости:

$a_1 = g \cdot \sin\alpha = g \cdot \frac{v_y}{v} = 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot \frac{9.8 \frac{м}{с}}{17.92 \frac{м}{с}} \approx 5.36 \frac{м}{с^2}$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных):

Ответ: $a_1 \approx 5.4 \frac{м}{с^2}$.

$a_2$

Модуль составляющей ускорения, направленной перпендикулярно скорости:

$a_2 = g \cdot \cos\alpha = g \cdot \frac{v_x}{v} = 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot \frac{15 \frac{м}{с}}{17.92 \frac{м}{с}} \approx 8.20 \frac{м}{с^2}$

Округляя до двух значащих цифр:

Ответ: $a_2 \approx 8.2 \frac{м}{с^2}$.