Номер 273, страница 56 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

масса шарика $m = 0.10$ кг

угловая скорость $\omega = 2.0$ рад/с

жесткость пружины $k = 4.0$ Н/м

длина пружины в недеформированном состоянии $l_0 = 45$ см

Перевод в систему СИ:

$l_0 = 45 \text{ см} = 0.45 \text{ м}$

Найти:

удлинение пружины $\Delta l$

Решение:

Когда стержень вращается, шарик движется по окружности. Движение по окружности возможно только под действием центростремительной силы. В данном случае эту силу создает пружина. Сила упругости, возникающая в пружине, является центростремительной силой.

Запишем второй закон Ньютона для шарика. На него в горизонтальном направлении действует только сила упругости $F_{упр}$, которая сообщает ему центростремительное ускорение $a_ц$.

$F_{упр} = m a_ц$

Сила упругости определяется законом Гука:

$F_{упр} = k \Delta l$

где $k$ — жесткость пружины, а $\Delta l$ — её удлинение.

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $r$:

$a_ц = \omega^2 r$

Радиус вращения шарика $r$ равен длине растянутой пружины, то есть сумме её начальной длины $l_0$ и удлинения $\Delta l$:

$r = l_0 + \Delta l$

Подставим выражения для силы упругости, центростремительного ускорения и радиуса в исходное уравнение второго закона Ньютона:

$k \Delta l = m \omega^2 (l_0 + \Delta l)$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $\Delta l$.

$k \Delta l = m \omega^2 l_0 + m \omega^2 \Delta l$

Перенесем слагаемые, содержащие $\Delta l$, в левую часть уравнения:

$k \Delta l - m \omega^2 \Delta l = m \omega^2 l_0$

Вынесем $\Delta l$ за скобки:

$\Delta l (k - m \omega^2) = m \omega^2 l_0$

Отсюда находим удлинение пружины:

$\Delta l = \frac{m \omega^2 l_0}{k - m \omega^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta l = \frac{0.10 \text{ кг} \cdot (2.0 \text{ рад/с})^2 \cdot 0.45 \text{ м}}{4.0 \text{ Н/м} - 0.10 \text{ кг} \cdot (2.0 \text{ рад/с})^2}$

$\Delta l = \frac{0.10 \cdot 4.0 \cdot 0.45}{4.0 - 0.10 \cdot 4.0} \text{ м}$

$\Delta l = \frac{0.18}{4.0 - 0.4} \text{ м} = \frac{0.18}{3.6} \text{ м}$

$\Delta l = 0.05 \text{ м}$

Можно также выразить ответ в сантиметрах: $0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: удлинение пружины $\Delta l = 0.05$ м.