Номер 277, страница 56 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол наклона трека, $α = 30°$

Радиус закругления, $R = 90$ м

Коэффициент трения, $μ = 0,40$

Ускорение свободного падения, $g ≈ 9,8$ м/с²

Найти:

$v_1$ - модуль скорости на гладком треке

$v_2$ - модуль максимальной скорости на треке с трением

Решение:

Нахождение модуля скорости $v_1$ на гладком треке

При движении мотоциклиста по гладкому наклонному треку на него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности трека. Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_1^2}{R}$, направленное горизонтально к центру закругления.

Введём систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

OX: $N \sin α = m \frac{v_1^2}{R}$

OY: $N \cos α - mg = 0$ => $N \cos α = mg$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{N \sin α}{N \cos α} = \frac{m v_1^2 / R}{mg}$

$\tan α = \frac{v_1^2}{gR}$

Отсюда выразим скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{gR \tan α}$

Подставим числовые значения:

$v_1 = \sqrt{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 90 \text{ м} \cdot \tan 30°} = \sqrt{882 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \approx \sqrt{509,2} \approx 22,6$ м/с.

Ответ: $v_1 \approx 23$ м/с.

Определение модуля максимальной скорости $v_2$

При движении с максимальной скоростью $v_2$ на мотоциклиста, помимо силы тяжести и силы реакции опоры, действует сила трения покоя $F_{тр}$, которая препятствует соскальзыванию мотоциклиста вверх по треку и поэтому направлена вниз вдоль поверхности трека. Максимальная сила трения покоя равна $F_{тр} = μN$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на те же оси OX и OY. Теперь необходимо учесть проекции силы трения.

OY: $N \cos α - mg - F_{тр} \sin α = 0$

$N \cos α - μN \sin α = mg$

$N(\cos α - μ \sin α) = mg$

OX: $N \sin α + F_{тр} \cos α = m \frac{v_2^2}{R}$

$N \sin α + μN \cos α = m \frac{v_2^2}{R}$

$N(\sin α + μ \cos α) = m \frac{v_2^2}{R}$

Разделим уравнение для оси OX на уравнение для оси OY:

$\frac{N(\sin α + μ \cos α)}{N(\cos α - μ \sin α)} = \frac{m v_2^2 / R}{mg}$

$\frac{\sin α + μ \cos α}{\cos α - μ \sin α} = \frac{v_2^2}{gR}$

Разделим числитель и знаменатель левой части на $\cos α$:

$\frac{\tan α + μ}{1 - μ \tan α} = \frac{v_2^2}{gR}$

Выразим максимальную скорость $v_2$:

$v_2 = \sqrt{gR \frac{\tan α + μ}{1 - μ \tan α}}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \sqrt{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 90 \text{ м} \cdot \frac{\tan 30° + 0,40}{1 - 0,40 \cdot \tan 30°}} \approx \sqrt{882 \cdot \frac{0,577 + 0,40}{1 - 0,40 \cdot 0,577}} \approx \sqrt{882 \cdot \frac{0,977}{0,769}} \approx \sqrt{1120} \approx 33,5$ м/с.

Ответ: $v_2 \approx 33$ м/с.