Номер 279, страница 57 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 0,80 \text{ км}$

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$l = 1,5 \text{ м}$

$R = 0,80 \text{ км} = 0,80 \cdot 1000 \text{ м} = 800 \text{ м}$
$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Для устранения бокового давления на рельсы необходимо, чтобы равнодействующая силы тяжести $m\vec{g}$ и силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$ создавала центростремительное ускорение $a_ц$. Поезд движется по дуге окружности, поэтому его ускорение направлено горизонтально к центру кривизны траектории и по модулю равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Пусть $\alpha$ — угол наклона железнодорожного полотна к горизонту. На поезд действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$, перпендикулярная полотну.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную (ось X, направлена к центру закругления) и вертикальную (ось Y, направлена вверх) оси:

Ось X: $N \sin(\alpha) = m a_ц = m \frac{v^2}{R}$ (1)

Ось Y: $N \cos(\alpha) - mg = 0 \implies N \cos(\alpha) = mg$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{N \sin(\alpha)}{N \cos(\alpha)} = \frac{m v^2/R}{mg}$

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{Rg}$

Высота $h$ возвышения внешнего рельса над внутренним связана с шириной колеи $l$ и углом наклона $\alpha$ соотношением:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

Для малых углов, что характерно для железнодорожных путей, справедливо приближение $\tan(\alpha) \approx \sin(\alpha)$. Тогда:

$\frac{h}{l} \approx \frac{v^2}{Rg}$

Отсюда выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{l v^2}{Rg}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$h = \frac{1,5 \text{ м} \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{800 \text{ м} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{1,5 \cdot 400}{8000} \text{ м} = \frac{600}{8000} \text{ м} = \frac{6}{80} \text{ м} = 0,075 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,075 \text{ м} = 7,5 \text{ см}$.

Ответ: $h = 0,075 \text{ м}$ (или $7,5 \text{ см}$).