Номер 276, страница 56 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$R = 0,10 \text{ км} = 0,10 \cdot 1000 \text{ м} = 100 \text{ м}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$\alpha$ - угол отклонения от вертикали.

Решение:

При движении мотоциклиста по дуге окружности на него действует центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру кривизны траектории. Согласно второму закону Ньютона, это ускорение создается равнодействующей всех сил, приложенных к мотоциклисту.

На систему "мотоциклист + мотоцикл" действуют две основные силы:
1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры со стороны дороги $\vec{F}_R$. Эту силу можно разложить на две компоненты: вертикальную (нормальная сила реакции опоры $\vec{N}$) и горизонтальную (сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$), которая и сообщает системе центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру поворота.

Проекция на ось OY:
$N - mg = 0 \implies N = mg$
Проекция на ось OX:
$F_{тр} = ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется по формуле:
$a_ц = \frac{v^2}{R}$
Следовательно, сила трения равна:
$F_{тр} = \frac{mv^2}{R}$

Чтобы мотоциклист не упал, он должен наклониться под таким углом $\alpha$ к вертикали, чтобы равнодействующая силы тяжести и центростремительной силы была направлена вдоль оси симметрии мотоцикла. Это также означает, что суммарный момент сил относительно центра масс равен нулю. Это условие выполняется, когда полная сила реакции дороги $\vec{F}_R$ (векторная сумма сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$) направлена вдоль оси мотоциклиста.

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами сил $N$, $F_{тр}$ и $F_R$, можно найти тангенс угла наклона $\alpha$:
$\tan \alpha = \frac{F_{тр}}{N}$

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $N$:
$\tan \alpha = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} = \frac{v^2}{gR}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$\tan \alpha = \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м}} = \frac{400 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{1000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 0,4$

Найдем сам угол $\alpha$:
$\alpha = \arctan(0,4) \approx 21,8^\circ$

С учетом значащих цифр исходных данных, округлим результат.

Ответ: $\alpha \approx 22^\circ$.