Номер 269, страница 55 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 3.6$ т

$v = 72$ км/ч

$R = 50$ м

$\alpha = 30^\circ$

Примем $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$m = 3.6 \cdot 1000 = 3600$ кг

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

Найти:

$F_1, F_2, F_3, F_4, F_5$

Решение:

Сила давления $F$ автомобиля на мост по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, действующей со стороны моста на автомобиль ($F = N$). Силу $N$ найдем из второго закона Ньютона. При движении по криволинейной траектории на тело действует центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру кривизны.

$F_1, F_2, F_3$

1. При движении по горизонтальному мосту центростремительное ускорение в вертикальной плоскости равно нулю. Сила тяжести $mg$ уравновешивается силой нормальной реакции $N_1$.

$N_1 = mg$

$F_1 = mg = 3600 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 35280 \text{ Н} = 35.28 \text{ кН}$

2. При движении по выпуклому мосту в его середине (верхней точке) центростремительное ускорение направлено вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N_2 = m \frac{v^2}{R}$

$N_2 = m(g - \frac{v^2}{R})$

$F_2 = 3600 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}) = 3600 \cdot (9.8 - 8) = 3600 \cdot 1.8 = 6480 \text{ Н} = 6.48 \text{ кН}$

3. При движении по вогнутому мосту в его середине (нижней точке) центростремительное ускорение направлено вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_3 - mg = m \frac{v^2}{R}$

$N_3 = m(g + \frac{v^2}{R})$

$F_3 = 3600 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}) = 3600 \cdot (9.8 + 8) = 3600 \cdot 17.8 = 64080 \text{ Н} = 64.08 \text{ кН}$

Ответ: $F_1 = 35.28 \text{ кН}$; $F_2 = 6.48 \text{ кН}$; $F_3 = 64.08 \text{ кН}$.

$F_4$ и $F_5$

4. При движении по выпуклому мосту в точке, для которой радиус, проведенный из центра кривизны, составляет угол $\alpha$ с вертикалью, запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление (к центру кривизны):

$mg \cos\alpha - N_4 = m \frac{v^2}{R}$

$N_4 = m(g \cos\alpha - \frac{v^2}{R})$

$F_4 = 3600 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cos(30^\circ) - \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}) \approx 3600 \cdot (9.8 \cdot 0.866 - 8) \approx 3600 \cdot (8.487 - 8) \approx 3600 \cdot 0.487 \approx 1753 \text{ Н} \approx 1.75 \text{ кН}$

5. При движении по вогнутому мосту в точке, для которой радиус, проведенный из центра кривизны, составляет угол $\alpha$ с вертикалью, запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление (к центру кривизны):

$N_5 - mg \cos\alpha = m \frac{v^2}{R}$

$N_5 = m(g \cos\alpha + \frac{v^2}{R})$

$F_5 = 3600 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cos(30^\circ) + \frac{(20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}) \approx 3600 \cdot (9.8 \cdot 0.866 + 8) \approx 3600 \cdot (8.487 + 8) \approx 3600 \cdot 16.487 \approx 59353 \text{ Н} \approx 59.35 \text{ кН}$

Ответ: $F_4 \approx 1.75 \text{ кН}$; $F_5 \approx 59.35 \text{ кН}$.