Номер 268, страница 55 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 14,7 \frac{м}{с}$

$\alpha = 30°$

$\Delta t_1 = 1,25 \text{ с}$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$.

Найти:

$a_1$ — модуль составляющей ускорения, направленной вдоль скорости движения.

$a_2$ — модуль составляющей ускорения, направленной перпендикулярно скорости движения.

Решение:

Полное ускорение тела, брошенного под углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха), — это ускорение свободного падения $\vec{g}$, которое постоянно и направлено вертикально вниз. Его модуль $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$.

Вектор ускорения $\vec{g}$ можно разложить на две компоненты: тангенциальную (касательную) $\vec{a}_1$, направленную вдоль вектора мгновенной скорости $\vec{v}$, и нормальную $\vec{a}_2$, направленную перпендикулярно вектору $\vec{v}$.

Для нахождения этих компонент в момент времени $t = \Delta t_1 = 1,25 \text{ с}$ сначала найдем вектор скорости $\vec{v}(t)$.

Введем систему координат: ось OX — горизонтально, ось OY — вертикально вверх, начало координат — в точке броска.

Проекции скорости на оси в момент времени $t$:

$v_x(t) = v_0 \cos(\alpha)$

$v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Подставим числовые значения для $t = 1,25 \text{ с}$:

$v_x = 14,7 \cdot \cos(30°) = 14,7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12,73 \frac{м}{с}$

$v_y = 14,7 \cdot \sin(30°) - 9,8 \cdot 1,25 = 14,7 \cdot 0,5 - 12,25 = 7,35 - 12,25 = -4,9 \frac{м}{с}$

Вектор ускорения в этой системе координат: $\vec{g} = (0; -g)$. Вектор скорости в момент $t$: $\vec{v} = (v_x; v_y)$.

Модуль составляющей ускорения $a_1$, направленной вдоль скорости движения

Модуль тангенциальной составляющей ускорения $a_1$ — это модуль проекции вектора $\vec{g}$ на направление вектора $\vec{v}$. Он находится по формуле:

$a_1 = \frac{|\vec{g} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Найдем необходимые величины:

Скалярное произведение: $\vec{g} \cdot \vec{v} = 0 \cdot v_x + (-g) \cdot v_y = -g v_y = -9,8 \cdot (-4,9) = 48,02 \frac{м^2}{с^3}$.

Модуль скорости: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(12,73)^2 + (-4,9)^2} \approx \sqrt{162,05 + 24,01} = \sqrt{186,06} \approx 13,64 \frac{м}{с}$.

Вычислим $a_1$:

$a_1 = \frac{48,02}{13,64} \approx 3,52 \frac{м}{с^2}$.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью $g$), получаем:

Ответ: $a_1 \approx 3,5 \frac{м}{с^2}$.

Модуль составляющей ускорения $a_2$, направленной перпендикулярно скорости движения

Модули полного ускорения $g$, тангенциальной $a_1$ и нормальной $a_2$ составляющих связаны соотношением:

$g^2 = a_1^2 + a_2^2$

Отсюда можем найти модуль нормальной составляющей $a_2$:

$a_2 = \sqrt{g^2 - a_1^2}$

Подставим вычисленные ранее значения (используя более точное значение $a_1 \approx 3,52 \frac{м}{с^2}$ для промежуточных расчетов):

$a_2 = \sqrt{(9,8)^2 - (3,52)^2} \approx \sqrt{96,04 - 12,39} = \sqrt{83,65} \approx 9,15 \frac{м}{с^2}$.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: $a_2 \approx 9,1 \frac{м}{с^2}$.