Номер 266, страница 54 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$\Delta t_1 = t_1 = 3,0 \text{ с}$

$\Delta t_2 = t_2 = 5,0 \text{ с}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_0$ - модуль начальной скорости

$h$ - максимальная высота подъема

Решение:

Движение камня является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Выберем систему координат, в которой начало совпадает с точкой броска, ось $OX$ направлена по горизонтали, а ось $OY$ — вертикально вверх. В этом случае зависимость вертикальной координаты $y$ от времени $t$ описывается уравнением:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ — начальная проекция скорости на ось $OY$.

Согласно условию, камень находился на некоторой высоте $h'$ в моменты времени $t_1$ и $t_2$. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения:

$h' = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{g t^2}{2}$

Приведем его к стандартному виду $at^2+bt+c=0$:

$\frac{g}{2}t^2 - (v_0 \sin\alpha) t + h' = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна:

$t_1 + t_2 = \frac{-(-(v_0 \sin\alpha))}{g/2} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

Из этого соотношения мы можем найти как начальную скорость $v_0$, так и максимальную высоту подъема $h$.

Модуль начальной скорости $v_0$ камня

Выразим начальную скорость $v_0$ из полученной формулы:

$v_0 = \frac{g(t_1 + t_2)}{2 \sin\alpha}$

Подставим известные значения:

$v_0 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (3,0 \text{ с} + 5,0 \text{ с})}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{9,8 \cdot 8,0}{2 \cdot 0,5} = 78,4 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $v_0 \approx 78 \text{ м/с}$.

Ответ: модуль начальной скорости камня $v_0 \approx 78 \text{ м/с}$.

Максимальная высота $h$ его подъема

Максимальная высота подъема $h$ достигается, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Высота подъема связана с начальной вертикальной скоростью $v_{0y}$ соотношением:

$h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin\alpha)^2}{2g}$

Из теоремы Виета мы знаем, что $v_0 \sin\alpha = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$. Подставим это выражение в формулу для максимальной высоты:

$h = \frac{\left(\frac{g(t_1 + t_2)}{2}\right)^2}{2g} = \frac{g^2(t_1 + t_2)^2}{4 \cdot 2g} = \frac{g(t_1 + t_2)^2}{8}$

Теперь подставим числовые значения:

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (3,0 \text{ с} + 5,0 \text{ с})^2}{8} = \frac{9,8 \cdot (8,0)^2}{8} = \frac{9,8 \cdot 64}{8} = 9,8 \cdot 8,0 = 78,4 \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $h \approx 78 \text{ м}$.

Ответ: максимальная высота подъема камня $h \approx 78 \text{ м}$.