Номер 259, страница 53 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_{01} = v_{02} = v_0$

$\alpha_1 = \alpha$

$\alpha_2 = \beta = 90^\circ - \alpha$

Найти:

$\frac{H_1}{H_2} - ?$

$\frac{l_1}{l_2} - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся стандартными формулами для движения тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$ (без учета сопротивления воздуха).

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

Горизонтальная дальность полета: $l = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Отношение наибольших высот подъема $\frac{H_1}{H_2}$

Для первого тела, брошенного под углом $\alpha_1 = \alpha$, максимальная высота подъема $H_1$ равна:

$H_1 = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Для второго тела, брошенного под углом $\alpha_2 = \beta = 90^\circ - \alpha$, максимальная высота подъема $H_2$ равна:

$H_2 = \frac{v_0^2 \sin^2(90^\circ - \alpha)}{2g}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем выражение для $H_2$:

$H_2 = \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2g}$

Теперь найдем отношение высот $\frac{H_1}{H_2}$:

$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}}{\frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2g}} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tan^2\alpha$

Ответ: Отношение наибольших высот подъема равно $\frac{H_1}{H_2} = \tan^2\alpha$.

Отношение дальностей полета $\frac{l_1}{l_2}$

Для первого тела, брошенного под углом $\alpha_1 = \alpha$, дальность полета $l_1$ равна:

$l_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Для второго тела, брошенного под углом $\alpha_2 = \beta = 90^\circ - \alpha$, дальность полета $l_2$ равна:

$l_2 = \frac{v_0^2 \sin(2(90^\circ - \alpha))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$, получаем выражение для $l_2$:

$l_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Как видно, выражения для $l_1$ и $l_2$ идентичны, следовательно, $l_1 = l_2$. Найдем их отношение:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_1}{l_1} = 1$

Ответ: Отношение дальностей полета равно $\frac{l_1}{l_2} = 1$.