Номер 252, страница 52 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 10$ м (высота обрыва)

$l = 4,0$ м (дальность полета по горизонтали)

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

1. Уравнение траектории $y(x)$

2. Модуль начальной скорости $v₀$

Решение:

Выберем систему координат. Начало координат $(0;0)$ поместим в точку бросания. Ось $Ox$ направим горизонтально в сторону броска, а ось $Oy$ — вертикально вниз. В этой системе координат начальные условия будут: начальные координаты $x₀ = 0$, $y₀ = 0$; проекции начальной скорости $v_{0x} = v₀$, $v_{0y} = 0$. Камень движется с ускорением свободного падения, проекции которого на оси: $a_x = 0$, $a_y = g$.

Движение камня можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось $Ox$) и равноускоренного без начальной скорости по вертикали (ось $Oy$).

Запишем уравнения зависимости координат от времени $t$:

По оси $Ox$: $x(t) = x₀ + v_{0x}t = v₀t$

По оси $Oy$: $y(t) = y₀ + v_{0y}t + \frac{a_yt²}{2} = \frac{gt²}{2}$

Получение уравнения y(x) траектории камня

Чтобы найти уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения.

Из уравнения для координаты $x$ выразим время:

$t = \frac{x}{v₀}$

Подставим это выражение в уравнение для координаты $y$:

$y(x) = \frac{g}{2}\left(\frac{x}{v₀}\right)² = \frac{g}{2v₀²}x²$

Это общая формула для траектории тела, брошенного горизонтально. Чтобы получить конкретное уравнение для данной задачи, найдем сначала начальную скорость $v₀$.

В момент падения на землю ($t = t_{пол}$) координаты камня равны $x = l$ и $y = h$.

$l = v₀t_{пол}$

$h = \frac{gt_{пол}²}{2}$

Из второго уравнения найдем время полета:

$t_{пол} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим это время в первое уравнение и найдем $v₀$:

$v₀ = \frac{l}{t_{пол}} = \frac{l}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = l\sqrt{\frac{g}{2h}}$

Подставим числовые значения: $v₀ = 4,0 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{2 \cdot 10}} = 4,0 \cdot \sqrt{0,49} = 4,0 \cdot 0,7 = 2,8$ м/с.

Теперь, зная $v₀$, можем записать уравнение траектории с числовыми коэффициентами:

$y(x) = \frac{9,8}{2 \cdot (2,8)²}x² = \frac{9,8}{2 \cdot 7,84}x² = \frac{9,8}{15,68}x² = 0,625x²$

Альтернативный способ: можно подставить в общую формулу траектории выражение для $v₀² = l²\frac{g}{2h}$:

$y(x) = \frac{g}{2(l²\frac{g}{2h})}x² = \frac{g \cdot 2h}{2 \cdot l²g}x² = \frac{h}{l²}x²$

Подставляя числовые значения: $y(x) = \frac{10}{4,0²}x² = \frac{10}{16}x² = 0,625x²$

Ответ: Уравнение траектории камня: $y(x) = 0,625x²$ (при $y$ и $x$ в метрах).

Определение модуля начальной скорости v₀

Для определения начальной скорости воспользуемся формулой, выведенной ранее, и известными данными.

Время полета камня до падения определяется движением по вертикали:

$h = \frac{gt_{пол}²}{2} \Rightarrow t_{пол} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t_{пол} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{9,8}} = \sqrt{\frac{20}{9,8}} \approx \sqrt{2,04} \approx 1,43$ с.

За это время камень пролетел по горизонтали расстояние $l$ с постоянной скоростью $v₀$:

$l = v₀t_{пол} \Rightarrow v₀ = \frac{l}{t_{пол}}$

$v₀ = \frac{4,0}{1,43} \approx 2,8$ м/с.

Или, используя объединенную формулу, полученную в первом пункте:

$v₀ = l\sqrt{\frac{g}{2h}} = 4,0 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{2 \cdot 10}} = 4,0 \cdot \sqrt{0,49} = 4,0 \cdot 0,7 = 2,8$ м/с.

Ответ: Модуль начальной скорости камня равен $2,8$ м/с.