Номер 250, страница 52 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$H = 0,13$ км
$v_0 = 90$ км/ч
$\alpha = 45^{\circ}$

$H = 0,13 \text{ км} = 0,13 \cdot 1000 \text{ м} = 130 \text{ м}$
$v_0 = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{90 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$h$

Решение

Движение сброшенного груза является движением тела, брошенного горизонтально. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Введем систему координат: начало в точке сброса, ось OX направлена горизонтально по полету, ось OY — вертикально вниз.

Начальные условия:

• Начальная горизонтальная скорость $v_{0x} = v_0 = 25 \text{ м/с}$.
• Начальная вертикальная скорость $v_{0y} = 0$.

В любой момент времени $t$ компоненты скорости груза будут:

• Горизонтальная составляющая скорости: $v_x(t) = v_{0x} = v_0$.
• Вертикальная составляющая скорости: $v_y(t) = v_{0y} + gt = gt$. (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$).

Вектор скорости $\vec{v}$ в любой момент времени направлен по касательной к траектории. Угол $\alpha$, который этот вектор составляет с горизонтом, определяется отношением его вертикальной и горизонтальной составляющих:

$\tan{\alpha} = \frac{v_y}{v_x}$

По условию задачи, нам нужно найти высоту, на которой $\alpha = 45^{\circ}$. Мы знаем, что $\tan{45^{\circ}} = 1$.

Следовательно, в искомый момент времени должно выполняться условие:

$\frac{v_y}{v_x} = 1 \implies v_y = v_x$

Поскольку $v_x = v_0$, получаем, что $v_y = v_0 = 25 \text{ м/с}$.

Теперь найдем, на какую высоту $\Delta y$ снизится груз, чтобы его вертикальная скорость достигла этого значения. Воспользуемся формулой, связывающей перемещение и скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:

$v_y^2 = v_{0y}^2 + 2g\Delta y$

Так как $v_{0y} = 0$ и $v_y = v_0$, то:

$v_0^2 = 2g\Delta y$

Отсюда выразим расстояние, пройденное грузом по вертикали:

$\Delta y = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$\Delta y = \frac{(25 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{625 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 31,25 \text{ м}$

Это расстояние, на которое груз опустился относительно начальной высоты $H$. Искомая высота $h$ над землей будет равна:

$h = H - \Delta y$

$h = 130 \text{ м} - 31,25 \text{ м} = 98,75 \text{ м}$

Ответ: скорость груза будет направлена под углом $45^{\circ}$ к горизонту на высоте $h = 98,75$ м.