Номер 251, страница 52 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$L = 50$ м (расстояние до мишени, в условии обозначено как $l$)

$v_1 = 0,32 \frac{км}{с} = 320 \frac{м}{с}$

$v_2 = 0,35 \frac{км}{с} = 350 \frac{м}{с}$

$g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$l$ - расстояние между пробоинами

Решение

Движение каждой пули после выстрела можно рассматривать как комбинацию двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного (свободного падения) по вертикали. Поскольку выстрелы произведены в горизонтальном направлении, начальная вертикальная скорость обеих пуль равна нулю.

Время полета каждой пули до мишени ($t$) зависит от расстояния до мишени ($L$) и горизонтальной скорости пули ($v$):

$t = \frac{L}{v}$

Время полета для первой и второй пули соответственно:

$t_1 = \frac{L}{v_1}$

$t_2 = \frac{L}{v_2}$

За время полета пуля под действием силы тяжести опускается на некоторую высоту $h$. Это вертикальное смещение можно найти по формуле для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Рассчитаем вертикальное смещение для каждой пули, подставив в формулу соответствующее время полета:

Смещение первой пули: $h_1 = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v_1}\right)^2 = \frac{gL^2}{2v_1^2}$

Смещение второй пули: $h_2 = \frac{gt_2^2}{2} = \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v_2}\right)^2 = \frac{gL^2}{2v_2^2}$

Так как наводка винтовки была одинаковой, пробоины будут находиться на одной вертикальной линии, но на разной высоте. Искомое расстояние между ними ($l$) будет равно разности их вертикальных смещений. Пуля с меньшей скоростью ($v_1$) летит дольше, а значит, опускается ниже ($h_1 > h_2$).

$l = h_1 - h_2 = \frac{gL^2}{2v_1^2} - \frac{gL^2}{2v_2^2} = \frac{gL^2}{2} \left(\frac{1}{v_1^2} - \frac{1}{v_2^2}\right)$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$l = \frac{9,8 \frac{м}{с^2} \cdot (50\ м)^2}{2} \left(\frac{1}{(320\ \frac{м}{с})^2} - \frac{1}{(350\ \frac{м}{с})^2}\right)$

$l = \frac{9,8 \cdot 2500}{2} \left(\frac{1}{102400} - \frac{1}{122500}\right) м$

$l = 12250 \left(\frac{122500 - 102400}{102400 \cdot 122500}\right) м$

$l = 12250 \left(\frac{20100}{12544000000}\right) м$

$l \approx 12250 \cdot (1,60236 \cdot 10^{-6}) м \approx 0,01963 м$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как точность исходных данных не позволяет дать более точный ответ. Переведем результат в сантиметры для наглядности.

$l \approx 0,020\ м = 2,0\ см$

Ответ: расстояние между пробоинами $l \approx 2,0$ см.