Номер 244, страница 51 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 5,0 \, \text{м}$

$v_0 = 6,7 \, \text{м/с}$

$g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v$ — модуль скорости в момент достижения поверхности воды.

$\alpha$ — угол между вертикалью и направлением скорости в тот же момент.

Решение:

Движение человека после прыжка можно рассматривать как движение тела, брошенного горизонтально. Это сложное движение можно разложить на два независимых: равномерное движение по горизонтали и равноускоренное движение (свободное падение) по вертикали.

1. Горизонтальное движение.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, на тело в горизонтальном направлении не действуют силы. Следовательно, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета и равной начальной скорости:

$v_x = v_0 = 6,7 \, \text{м/с}$

2. Вертикальное движение.

Начальная вертикальная скорость равна нулю ($v_{y0} = 0$), так как прыжок был совершен в горизонтальном направлении. Тело падает с высоты $h$ с ускорением $g$. Вертикальную составляющую скорости $v_y$ в момент достижения поверхности воды можно найти, используя формулу, связывающую высоту, начальную и конечную скорости и ускорение:

$h = \frac{v_y^2 - v_{y0}^2}{2g}$

Так как $v_{y0} = 0$, получаем:

$h = \frac{v_y^2}{2g}$

Отсюда выразим $v_y$:

$v_y = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 5,0 \, \text{м}} = \sqrt{98} \, \text{м/с} \approx 9,90 \, \text{м/с}$

3. Нахождение модуля конечной скорости $v$.

Полная скорость $v$ в момент падения в воду является векторной суммой ее горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих. Так как эти составляющие перпендикулярны друг другу, модуль полной скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставим значения $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{(6,7 \, \text{м/с})^2 + (\sqrt{98} \, \text{м/с})^2} = \sqrt{44,89 + 98} \, \text{м/с} = \sqrt{142,89} \, \text{м/с} \approx 11,95 \, \text{м/с}$

С учетом того, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат:

$v \approx 12 \, \text{м/с}$

4. Нахождение угла $\alpha$.

Угол $\alpha$ между вертикалью и направлением скорости $v$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей $v_x$, $v_y$ и $v$. В этом треугольнике $v_y$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$, а $v_x$ — противолежащим.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}\,\alpha = \frac{v_x}{v_y}$

Подставим значения:

$\text{tg}\,\alpha = \frac{6,7 \, \text{м/с}}{9,90 \, \text{м/с}} \approx 0,6768$

Теперь найдем сам угол, взяв арктангенс от этого значения:

$\alpha = \text{arctg}(0,6768) \approx 34,09^\circ$

Округлим результат до двух значащих цифр:

$\alpha \approx 34^\circ$

Ответ: Модуль скорости человека в момент достижения им поверхности воды составляет примерно $12 \, \text{м/с}$, а угол между вертикалью и направлением скорости — примерно $34^\circ$.