Номер 238, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость первого тела: $v_0$ (направлена вертикально вверх).

Начальная высота второго тела: $H_0$.

Начальная скорость второго тела: 0.

Движение тел начинается одновременно.

Найти:

Зависимость расстояния $\Delta H$ между телами от времени $t$, то есть функцию $\Delta H(t)$.

Решение:

Для решения задачи введем систему отсчета, связанную с Землей. Направим координатную ось $OY$ вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) совместим с начальным положением первого тела (точкой броска).

Движение обоих тел является равноускоренным, так как на них действует только сила тяжести. Ускорение обоих тел равно ускорению свободного падения $\vec{g}$, которое направлено вертикально вниз. В выбранной системе отсчета проекция ускорения на ось $OY$ будет $a_y = -g$.

Запишем уравнение движения для первого тела. Начальная координата $y_{01} = 0$, проекция начальной скорости $v_{0y1} = v_0$. Уравнение координаты $y_1(t)$ для первого тела имеет вид:

$y_1(t) = y_{01} + v_{0y1}t + \frac{a_y t^2}{2} = 0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$y_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Теперь запишем уравнение движения для второго тела. Оно начинает падать с высоты $H_0$, поэтому его начальная координата $y_{02} = H_0$. Начальная скорость второго тела равна нулю, $v_{0y2} = 0$. Уравнение координаты $y_2(t)$ для второго тела:

$y_2(t) = y_{02} + v_{0y2}t + \frac{a_y t^2}{2} = H_0 + 0 \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

$y_2(t) = H_0 - \frac{gt^2}{2}$

Расстояние $\Delta H$ между телами в любой момент времени $t$ равно модулю разности их координат:

$\Delta H(t) = |y_2(t) - y_1(t)|$

Подставим в это выражение найденные зависимости координат от времени:

$\Delta H(t) = |(H_0 - \frac{gt^2}{2}) - (v_0 t - \frac{gt^2}{2})|$

Раскроем скобки внутри модуля:

$\Delta H(t) = |H_0 - \frac{gt^2}{2} - v_0 t + \frac{gt^2}{2}|$

Слагаемые $-\frac{gt^2}{2}$ и $+\frac{gt^2}{2}$ взаимно уничтожаются, и мы получаем итоговую зависимость:

$\Delta H(t) = |H_0 - v_0 t|$

Полученное выражение показывает, что расстояние между телами изменяется со временем по линейному закону. Оно уменьшается до момента времени $t = H_0/v_0$ (когда тела встречаются, и расстояние становится равным нулю), а затем увеличивается.

Ответ:

Зависимость расстояния $\Delta H$ между телами от времени $t$ описывается формулой $\Delta H(t) = |H_0 - v_0 t|$.