Номер 234, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h$ – начальная высота, с которой бросают тела.
$\vec{v}_1$ – начальная скорость первого тела (направлена вертикально вверх).
$\vec{v}_2$ – начальная скорость второго тела (направлена вертикально вниз).
Обозначим модули скоростей как $v_1 = |\vec{v}_1|$ и $v_2 = |\vec{v}_2|$.

Найти:

$Δt$ – промежуток времени, разделяющий моменты падения тел.

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало координат (y=0) расположим на поверхности Земли. В этой системе координат оба тела начинают движение из точки с координатой $y_0 = h$. Ускорение свободного падения направлено вниз, поэтому его проекция на ось OY равна $a_y = -g$.

Запишем уравнение движения для координаты тела при равноускоренном движении:
$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$
Подставив наши значения, получим:
$y(t) = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Найдем время полета для первого тела ($t_1$).
Первое тело брошено вертикально вверх, следовательно, проекция его начальной скорости на ось OY положительна: $v_{0y,1} = v_1$.
Уравнение движения для первого тела:
$y_1(t) = h + v_1 t - \frac{gt^2}{2}$
В момент падения на Землю координата тела становится равной нулю: $y_1(t_1) = 0$.
$0 = h + v_1 t_1 - \frac{gt_1^2}{2}$
Мы получили квадратное уравнение относительно времени $t_1$:
$\frac{g}{2}t_1^2 - v_1 t_1 - h = 0$
Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$t_1 = \frac{-(-v_1) \pm \sqrt{(-v_1)^2 - 4 \cdot (\frac{g}{2}) \cdot (-h)}}{2 \cdot (\frac{g}{2})} = \frac{v_1 \pm \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}$
Поскольку время полета должно быть положительной величиной ($t_1 > 0$), мы выбираем корень со знаком «+».
$t_1 = \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}$

Найдем время полета для второго тела ($t_2$).
Второе тело брошено вертикально вниз, поэтому проекция его начальной скорости на ось OY отрицательна: $v_{0y,2} = -v_2$.
Уравнение движения для второго тела:
$y_2(t) = h - v_2 t - \frac{gt^2}{2}$
В момент падения $y_2(t_2) = 0$:
$0 = h - v_2 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$
Получаем квадратное уравнение относительно $t_2$:
$\frac{g}{2}t_2^2 + v_2 t_2 - h = 0$
Решаем его:
$t_2 = \frac{-v_2 \pm \sqrt{v_2^2 - 4 \cdot (\frac{g}{2}) \cdot (-h)}}{2 \cdot (\frac{g}{2})} = \frac{-v_2 \pm \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g}$
Так как $t_2 > 0$, выбираем корень со знаком «+».
$t_2 = \frac{-v_2 + \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g}$

Определим промежуток времени $Δt$.
Тело, брошенное вверх, упадет на землю позже тела, брошенного вниз, поэтому $t_1 > t_2$. Искомый промежуток времени равен разности времен полета:
$Δt = t_1 - t_2$
$Δt = \left( \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g} \right) - \left( \frac{-v_2 + \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g} \right)$
$Δt = \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh} - (-v_2) - \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g}$
$Δt = \frac{v_1 + v_2 + \sqrt{v_1^2 + 2gh} - \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g}$

Ответ: Промежуток времени, разделяющий моменты падения тел на поверхность Земли, равен $Δt = \frac{v_1 + v_2 + \sqrt{v_1^2 + 2gh} - \sqrt{v_2^2 + 2gh}}{g}$.