Номер 239, страница 51 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_1 = 10$ м (начальная высота первого камня)

$h_2 = 5,0$ м (начальная высота второго камня)

$h = 1,0$ м (высота встречи)

$v_{01} = 0$ м/с (начальная скорость первого камня)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Найти:

$v_0$ — модуль начальной скорости второго камня.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью Земли. Направим ось ординат $OY$ вертикально вверх, начало отсчета $y=0$ — на поверхности Земли.

Движение обоих камней является равноускоренным с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз. Уравнение движения тела в общем виде: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{g_y t^2}{2}$.

Для первого камня, который начинает падать с высоты $h_1$ без начальной скорости ($v_{01} = 0$), уравнение движения будет:

$y_1(t) = h_1 - \frac{gt^2}{2}$

Для второго камня, брошенного с высоты $h_2$ вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, уравнение движения будет:

$y_2(t) = h_2 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

По условию задачи, камни встречаются в момент времени $t$ на высоте $h$. Это означает, что в этот момент их координаты равны:

$y_1(t) = y_2(t) = h$

Сначала найдем время встречи $t$ из уравнения движения первого камня:

$h = h_1 - \frac{gt^2}{2}$

Выразим отсюда время $t$:

$\frac{gt^2}{2} = h_1 - h$

$t = \sqrt{\frac{2(h_1 - h)}{g}}$

Теперь подставим это в уравнение для второго камня, чтобы найти $v_0$:

$h = h_2 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Заменим слагаемое $\frac{gt^2}{2}$ на уже известное нам выражение $h_1 - h$:

$h = h_2 + v_0t - (h_1 - h)$

$h = h_2 + v_0t - h_1 + h$

$0 = h_2 + v_0t - h_1$

$v_0t = h_1 - h_2$

$v_0 = \frac{h_1 - h_2}{t}$

Подставим в это уравнение выражение для времени $t$:

$v_0 = \frac{h_1 - h_2}{\sqrt{\frac{2(h_1 - h)}{g}}} = (h_1 - h_2) \sqrt{\frac{g}{2(h_1 - h)}}$

Теперь произведем вычисления:

$v_0 = (10 \text{ м} - 5,0 \text{ м}) \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2}{2(10 \text{ м} - 1,0 \text{ м})}} = 5,0 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 9,0 \text{ м}}} = 5,0 \cdot \sqrt{\frac{10}{18}} \text{ м/с} = 5,0 \cdot \sqrt{\frac{5}{9}} \text{ м/с} = 5,0 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \text{ м/с}$

Используя приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$, получим:

$v_0 \approx 5,0 \cdot \frac{2,236}{3} \text{ м/с} \approx 3,727$ м/с

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными $h_2$ и $h$), получаем:

$v_0 \approx 3,7$ м/с

Ответ: модуль начальной скорости второго камня $v_0 \approx 3,7$ м/с.