Номер 242, страница 51 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 20 \text{ м}$

$v_0 = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$\Delta t - ?$

$v - ?$

Решение:

Рассмотрим движение камня как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси Ox) и равноускоренного по вертикали (вдоль оси Oy). Систему координат выберем так, чтобы начало было в точке броска, ось Ox была направлена горизонтально, а ось Oy — вертикально вниз.

При таком выборе начальные условия будут следующими: $x_0=0, y_0=0, v_{0x}=v_0, v_{0y}=0$.

Определение времени $\Delta t$ падения

Время полета камня зависит только от вертикального движения. Оно равно времени, за которое камень пройдет по вертикали расстояние $h$. Движение по вертикали описывается уравнением:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{gt^2}{2}$

Подставляя наши начальные условия ($y_0=0, v_{0y}=0$) и учитывая, что в момент падения координата $y$ будет равна высоте $h$, а время $t$ равно времени падения $\Delta t$, получаем:

$h = \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Выразим отсюда время падения $\Delta t$:

$(\Delta t)^2 = \frac{2h}{g}$

$\Delta t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{4 \text{ с}^2} = 2 \text{ с}$

Ответ: время падения камня составляет 2 с.

Определение модуля скорости $v$ камня при падении в воду

В момент падения в воду (в момент времени $\Delta t = 2 \text{ с}$) скорость камня $v$ будет иметь две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$.

Горизонтальная составляющая скорости при движении без сопротивления воздуха не изменяется:

$v_x = v_{0x} = v_0 = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести и в момент времени $\Delta t$ равна:

$v_y = v_{0y} + g \Delta t$

Подставляя значения ($v_{0y}=0$):

$v_y = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ с} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Модуль итоговой скорости $v$ найдем по теореме Пифагора, так как векторы $v_x$ и $v_y$ перпендикулярны:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставим найденные значения составляющих:

$v = \sqrt{(25 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 + (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \sqrt{625 + 400} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{1025} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 32,02 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя, получаем $v \approx 32 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: модуль скорости камня при падении в воду приблизительно равен 32 м/с.