Номер 235, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Интервал времени между бросками: $Δt_1$

Время встречи от момента броска первого шарика: $Δt$

Начальные скорости шариков одинаковы по модулю: $v_0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

$v_0$

Решение:

Выберем систему координат с началом в точке броска, ось $Oy$ направим вертикально вверх. Движение обоих шариков является равноускоренным с ускорением $a_y = -g$.

Запишем уравнение зависимости координаты от времени для первого шарика. Он был брошен в момент времени $t=0$.

$y_1(t) = v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

Второй шарик был брошен позже, в момент времени $t = Δt_1$. Следовательно, время его полета в любой момент $t$ (где $t > Δt_1$) равно $(t - Δt_1)$. Уравнение движения для второго шарика:

$y_2(t) = v_0 (t - Δt_1) - \frac{g (t - Δt_1)^2}{2}$

По условию задачи, шарики встретились в момент времени $Δt$ с точки зрения первого шарика. В этот момент их координаты равны: $y_1(Δt) = y_2(Δt)$.

Составим уравнение, приравняв выражения для координат в момент времени $t = Δt$:

$v_0 Δt - \frac{g (Δt)^2}{2} = v_0 (Δt - Δt_1) - \frac{g (Δt - Δt_1)^2}{2}$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$v_0 Δt - \frac{g (Δt)^2}{2} = v_0 Δt - v_0 Δt_1 - \frac{g}{2} ( (Δt)^2 - 2ΔtΔt_1 + (Δt_1)^2 )$

Сократим член $v_0 Δt$ в обеих частях:

$- \frac{g (Δt)^2}{2} = - v_0 Δt_1 - \frac{g (Δt)^2}{2} + gΔtΔt_1 - \frac{g (Δt_1)^2}{2}$

Сократим член $- \frac{g (Δt)^2}{2}$ в обеих частях:

$0 = - v_0 Δt_1 + gΔtΔt_1 - \frac{g (Δt_1)^2}{2}$

Выразим отсюда искомую скорость $v_0$. Перенесем член с $v_0$ в левую часть:

$v_0 Δt_1 = gΔtΔt_1 - \frac{g (Δt_1)^2}{2}$

Разделим обе части уравнения на $Δt_1$ (так как $Δt_1 \ne 0$):

$v_0 = gΔt - \frac{g Δt_1}{2}$

Вынесем $g$ за скобки, чтобы получить окончательное выражение:

$v_0 = g \left( Δt - \frac{Δt_1}{2} \right)$

Ответ: $v_0 = g \left( Δt - \frac{Δt_1}{2} \right)$