Номер 231, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 2,0 \frac{м}{с^2}$ (ускорение аэростата)

$\Delta t_1 = 5,0 \text{ с}$ (время подъема до выпадения предмета)

$g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta t$ (промежуток времени, через который предмет упадет на Землю)

Решение:

Сначала определим параметры движения аэростата в момент, когда из него выпал предмет. Аэростат начинает движение из состояния покоя, поэтому его начальная скорость равна нулю. За время $\Delta t_1$ он поднимется на высоту $h$ и наберет скорость $v_1$.

Высота подъема вычисляется по формуле для равноускоренного движения:

$h = \frac{a (\Delta t_1)^2}{2}$

Скорость в этот момент времени равна:

$v_1 = a \Delta t_1$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{2,0 \frac{м}{с^2} \cdot (5,0 \text{ с})^2}{2} = \frac{2,0 \cdot 25}{2} \text{ м} = 25 \text{ м}$

$v_1 = 2,0 \frac{м}{с^2} \cdot 5,0 \text{ с} = 10 \frac{м}{с}$

Таким образом, в момент выпадения предмет находится на высоте $h = 25 \text{ м}$ и имеет начальную скорость $v_1 = 10 \frac{м}{с}$, направленную вертикально вверх (так как он двигался вместе с аэростатом).

Дальнейшее движение предмета — это свободное падение. Направим ось координат OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности Земли. Движение предмета описывается уравнением:

$y(t) = h + v_1 t - \frac{g t^2}{2}$

где $t$ — время, прошедшее с момента выпадения предмета.

Предмет достигнет поверхности Земли, когда его координата $y$ станет равной нулю. Искомое время полета $\Delta t$ найдем, решив уравнение:

$0 = h + v_1 \Delta t - \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно $\Delta t$. Перепишем его в стандартном виде:

$\frac{g}{2} (\Delta t)^2 - v_1 \Delta t - h = 0$

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Физический смысл имеет только положительный корень:

$\Delta t = \frac{v_1 + \sqrt{(-v_1)^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-h)}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}$

Подставим в эту формулу числовые значения:

$\Delta t = \frac{10 \frac{м}{с} + \sqrt{(10 \frac{м}{с})^2 + 2 \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 25 \text{ м}}}{9,8 \frac{м}{с^2}}$

$\Delta t = \frac{10 + \sqrt{100 + 490}}{9,8} \text{ с} = \frac{10 + \sqrt{590}}{9,8} \text{ с}$

Вычислим значение:

$\Delta t \approx \frac{10 + 24,29}{9,8} \text{ с} \approx 3,499 \text{ с}$

Учитывая, что исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

$\Delta t \approx 3,5 \text{ с}$

Ответ: Промежуток времени, спустя который предмет упадет на поверхность Земли, составляет примерно $3,5$ с.