Номер 233, страница 50 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота, которую тело проходит дважды: $h$

Промежуток времени между прохождениями высоты $h$: $\Delta t$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Модуль начальной скорости: $v_0$

Промежуток времени от начала движения до возврата в начальное положение: $\Delta t_0$

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, с началом в точке броска.

Тело проходит высоту $h$ дважды: первый раз при движении вверх (в момент времени $t_1$), второй раз — при движении вниз (в момент времени $t_2$). По условию, разница между этими моментами времени составляет $\Delta t = t_2 - t_1$.

Определение модуля начальной скорости $v_0$

Движение тела симметрично относительно точки максимального подъема. Это означает, что время подъема от высоты $h$ до максимальной высоты равно времени падения с максимальной высоты обратно до высоты $h$. Каждый из этих интервалов равен половине общего промежутка $\Delta t$. Обозначим этот интервал $\tau$.

$\tau = \frac{\Delta t}{2}$

Рассмотрим участок движения от высоты $h$ до точки максимального подъема. Модуль скорости на высоте $h$ обозначим как $v_h$. В точке максимального подъема скорость тела равна нулю. Используя уравнение для скорости при равноускоренном движении $v_{конечная} = v_{начальная} - gt$, для этого участка получаем:

$0 = v_h - g\tau$

Отсюда можем выразить модуль скорости на высоте $h$:

$v_h = g\tau = g \frac{\Delta t}{2}$

Теперь рассмотрим участок движения от точки броска (высота 0) до высоты $h$. Воспользуемся формулой, связывающей скорости, ускорение и перемещение, не содержащей времени:

$v_h^2 = v_0^2 - 2gh$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v_h$:

$\left(g \frac{\Delta t}{2}\right)^2 = v_0^2 - 2gh$

$\frac{g^2 (\Delta t)^2}{4} = v_0^2 - 2gh$

Из этого уравнения выражаем искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = 2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}$

$v_0 = \sqrt{2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh + \left(\frac{g\Delta t}{2}\right)^2}$

Определение промежутка времени $\Delta t_0$

Промежуток времени $\Delta t_0$ — это полное время полета тела, то есть время от момента броска до момента возвращения в исходное положение ($y=0$). В силу симметрии, время подъема до максимальной высоты $t_{под}$ равно времени падения с нее $t_{пад}$.

$\Delta t_0 = 2t_{под}$

Время подъема можно найти из условия, что на максимальной высоте скорость обращается в ноль:

$0 = v_0 - gt_{под}$

$t_{под} = \frac{v_0}{g}$

Тогда полное время полета равно:

$\Delta t_0 = \frac{2v_0}{g}$

Подставим в эту формулу выражение для начальной скорости $v_0$, полученное в предыдущем пункте:

$\Delta t_0 = \frac{2}{g} \sqrt{2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}}$

Для упрощения внесем множитель $\frac{2}{g}$ под знак корня:

$\Delta t_0 = \sqrt{\left(\frac{2}{g}\right)^2 \left(2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}\right)} = \sqrt{\frac{4}{g^2} \cdot 2gh + \frac{4}{g^2} \cdot \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}}$

$\Delta t_0 = \sqrt{\frac{8h}{g} + (\Delta t)^2}$

Ответ: $\Delta t_0 = \sqrt{(\Delta t)^2 + \frac{8h}{g}}$