Номер 230, страница 49 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 0,50 \text{ км}$

$v_0 = 26 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$h = 0,50 \cdot 1000 \text{ м} = 500 \text{ м}$

Найти:

$Δt_a, Δt_б, Δt_в$ - ?

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета (Y=0) расположим на поверхности Земли. В этом случае начальная координата камня будет $y_0 = h$.

Закон движения тела, брошенного вертикально, в общем виде описывается уравнением:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_yt^2}{2}$

В нашем случае $y_0 = h$, ускорение $a_y = -g$ (так как оно направлено против оси OY), а начальная скорость $v_{0y}$ зависит от направления движения вертолета. Камень достигнет поверхности Земли, когда его координата станет равной нулю, $y(t) = 0$. Таким образом, нам нужно найти время $t = Δt$ из уравнения:

$0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Это квадратное уравнение относительно времени $t$:

$\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$

Решим это уравнение для каждого из трех случаев.

а) вертолет поднимается вертикально вверх

В этом случае начальная скорость камня $v_{0y}$ равна скорости вертолета и направлена вверх, то есть $v_{0y} = v_0 = 26 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Уравнение движения принимает вид:

$\frac{g}{2}t^2 - v_0t - h = 0$

Решаем квадратное уравнение, используя формулу для корней $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=\frac{g}{2}$, $b=-v_0$, $c=-h$.

$Δt = \frac{v_0 \pm \sqrt{(-v_0)^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-h)}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:

$Δt_a = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$

Подставляем числовые значения:

$Δt_a = \frac{26 + \sqrt{26^2 + 2 \cdot 9,8 \cdot 500}}{9,8} = \frac{26 + \sqrt{676 + 9800}}{9,8} = \frac{26 + \sqrt{10476}}{9,8} \approx \frac{26 + 102,4}{9,8} \approx \frac{128,4}{9,8} \approx 13,1 \text{ с}$

Ответ: $13,1 \text{ с}$.

б) вертолет опускается с такой же по модулю скоростью

В этом случае начальная скорость камня $v_{0y}$ направлена вниз, то есть $v_{0y} = -v_0 = -26 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Уравнение движения принимает вид:

$\frac{g}{2}t^2 - (-v_0)t - h = 0 \implies \frac{g}{2}t^2 + v_0t - h = 0$

Решаем квадратное уравнение ($a=\frac{g}{2}$, $b=v_0$, $c=-h$):

$Δt = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-h)}}{2 \cdot \frac{g}{2}} = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$

Выбираем положительный корень:

$Δt_б = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh}}{g}$

Подставляем числовые значения:

$Δt_б = \frac{-26 + \sqrt{26^2 + 2 \cdot 9,8 \cdot 500}}{9,8} = \frac{-26 + \sqrt{10476}}{9,8} \approx \frac{-26 + 102,4}{9,8} = \frac{76,4}{9,8} \approx 7,8 \text{ с}$

Ответ: $7,8 \text{ с}$.

в) вертолет неподвижен

В этом случае начальная скорость камня равна нулю, $v_{0y} = 0$.

Уравнение движения упрощается:

$\frac{g}{2}t^2 - h = 0$

Отсюда выражаем время $t$:

$t^2 = \frac{2h}{g} \implies Δt_в = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставляем числовые значения:

$Δt_в = \sqrt{\frac{2 \cdot 500}{9,8}} = \sqrt{\frac{1000}{9,8}} \approx \sqrt{102,04} \approx 10,1 \text{ с}$

Ответ: $10,1 \text{ с}$.