Номер 224, страница 49 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота падения первого тела: $h_1$
Задержка старта второго тела: $\Delta t$
Начальная скорость тел: $v_0 = 0$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Высота падения второго тела: $h_2$

Решение:

Запишем уравнение для высоты при свободном падении с нулевой начальной скоростью. Пусть $t$ — время падения, а $h$ — высота.

$h = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время падения тела с высоты $h$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Найдем полное время полета первого тела, падающего с высоты $h_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Второе тело начинает свое движение на $\Delta t$ позже первого, и по условию задачи, оба тела достигают земли одновременно. Это означает, что время полета второго тела, $t_2$, короче времени полета первого тела на величину $\Delta t$.

$t_2 = t_1 - \Delta t$

Подставим в это равенство выражение для $t_1$:

$t_2 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - \Delta t$

Высота $h_2$, с которой падает второе тело, связана с его временем падения $t_2$ следующим соотношением:

$h_2 = \frac{gt_2^2}{2}$

Теперь подставим в эту формулу полученное ранее выражение для $t_2$:

$h_2 = \frac{g}{2} \left( \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - \Delta t \right)^2$

Для упрощения этого выражения можно внести множитель $\frac{g}{2}$ под знак квадрата:

$h_2 = \left( \sqrt{\frac{g}{2}} \left( \sqrt{\frac{2h_1}{g}} - \Delta t \right) \right)^2 = \left( \sqrt{\frac{g}{2} \cdot \frac{2h_1}{g}} - \Delta t \sqrt{\frac{g}{2}} \right)^2$

После упрощения подкоренного выражения в первом слагаемом получаем окончательную формулу:

$h_2 = \left( \sqrt{h_1} - \Delta t \sqrt{\frac{g}{2}} \right)^2$

Заметим, что для существования физического решения необходимо, чтобы время полета второго тела было положительным, т.е. $t_2 > 0$, что эквивалентно условию $t_1 > \Delta t$ или $\sqrt{\frac{2h_1}{g}} > \Delta t$.

Ответ: $h_2 = \left( \sqrt{h_1} - \Delta t \sqrt{\frac{g}{2}} \right)^2$.