Номер 220, страница 48 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$v_{01} = v_{02} = 0$ - начальная скорость тел
$\Delta t_1$ - промежуток времени между началами падения тел
$l$ - расстояние между телами
$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

$\Delta t$ - промежуток времени после начала падения второго тела

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось $Y$ направим вертикально вниз, а начало координат ($y=0$) поместим в точку, с которой начинают падать тела. Поскольку тела падают без начальной скорости, уравнение движения для тела в свободном падении имеет вид: $y(t) = \frac{gt^2}{2}$.

Пусть $\Delta t$ - это время, прошедшее с момента начала падения второго тела. Тогда время падения второго тела равно $t_2 = \Delta t$.

Первое тело начало падать раньше на $\Delta t_1$, поэтому его общее время падения к этому моменту составит $t_1 = \Delta t + \Delta t_1$.

Координаты первого и второго тел в момент времени, когда с начала падения второго тела прошло время $\Delta t$, будут равны:

$y_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g(\Delta t + \Delta t_1)^2}{2}$

$y_2 = \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Расстояние $l$ между телами — это разность их координат, так как первое тело всегда будет ниже второго:

$l = y_1 - y_2$

Подставим выражения для координат:

$l = \frac{g(\Delta t + \Delta t_1)^2}{2} - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Вынесем $\frac{g}{2}$ за скобки и раскроем квадрат суммы:

$l = \frac{g}{2}((\Delta t)^2 + 2\Delta t \Delta t_1 + (\Delta t_1)^2 - (\Delta t)^2)$

Упростим выражение в скобках:

$l = \frac{g}{2}(2\Delta t \Delta t_1 + (\Delta t_1)^2)$

Теперь выразим искомое время $\Delta t$ из этого уравнения:

$\frac{2l}{g} = 2\Delta t \Delta t_1 + (\Delta t_1)^2$

$2\Delta t \Delta t_1 = \frac{2l}{g} - (\Delta t_1)^2$

$\Delta t = \frac{1}{2\Delta t_1}\left(\frac{2l}{g} - (\Delta t_1)^2\right)$

$\Delta t = \frac{l}{g\Delta t_1} - \frac{\Delta t_1}{2}$

Ответ: $\Delta t = \frac{l}{g\Delta t_1} - \frac{\Delta t_1}{2}$.