Номер 215, страница 48 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Свободное падение тела
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g$
Рассматриваемый промежуток времени: $n$-я секунда падения

Найти:

Модуль перемещения за $n$-ю секунду, $\Delta r$

Решение:

Движение тела является равноускоренным. Модуль перемещения тела, свободно падающего без начальной скорости, за время $t$ с момента начала падения определяется по формуле:

$r(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$r(t) = \frac{gt^2}{2}$

Перемещение за $n$-ю секунду, $\Delta r$, - это разность между полным перемещением тела за $n$ секунд и полным перемещением за предшествующие $n-1$ секунд.

Полное перемещение за $n$ секунд (от $t=0$ до $t=n$):

$r_n = r(n) = \frac{gn^2}{2}$

Полное перемещение за $n-1$ секунд (от $t=0$ до $t=n-1$):

$r_{n-1} = r(n-1) = \frac{g(n-1)^2}{2}$

Тогда модуль перемещения за $n$-ю секунду (интервал времени от $t=n-1$ до $t=n$) равен:

$\Delta r = r_n - r_{n-1} = \frac{gn^2}{2} - \frac{g(n-1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки:

$\Delta r = \frac{g}{2} [n^2 - (n-1)^2]$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\Delta r = \frac{g}{2} [n^2 - (n^2 - 2n + 1)]$

$\Delta r = \frac{g}{2} (n^2 - n^2 + 2n - 1)$

$\Delta r = \frac{g}{2} (2n - 1)$

Ответ:

Модуль перемещения свободно падающего без начальной скорости тела за $n$-ю секунду его падения равен $\Delta r = \frac{g}{2}(2n - 1)$.