Номер 210, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 0$ м/с

$\Delta h_{last} = 3 \cdot \Delta h_{prev}$

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Пусть $t$ - общее время свободного падения тела. Формула пути для тела, падающего без начальной скорости, имеет вид:

$S(\tau) = \frac{g\tau^2}{2}$

где $\tau$ - время падения.

Путь, пройденный телом за последнюю секунду падения, равен разности пути, пройденного за все время $t$, и пути, пройденного за время $(t-1)$ с:

$\Delta h_{last} = S(t) - S(t-1) = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2}$

Упростим выражение:

$\Delta h_{last} = \frac{g}{2}(t^2 - (t-1)^2) = \frac{g}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{g}{2}(2t - 1)$

Путь, пройденный телом за предпоследнюю секунду падения, равен разности пути, пройденного за время $(t-1)$ с, и пути, пройденного за время $(t-2)$ с:

$\Delta h_{prev} = S(t-1) - S(t-2) = \frac{g(t-1)^2}{2} - \frac{g(t-2)^2}{2}$

Упростим это выражение:

$\Delta h_{prev} = \frac{g}{2}((t-1)^2 - (t-2)^2) = \frac{g}{2}(t^2 - 2t + 1 - (t^2 - 4t + 4)) = \frac{g}{2}(2t - 3)$

Согласно условию задачи, путь за последнюю секунду втрое больше, чем за предпоследнюю:

$\Delta h_{last} = 3 \cdot \Delta h_{prev}$

Подставим полученные выражения в это равенство:

$\frac{g}{2}(2t - 1) = 3 \cdot \frac{g}{2}(2t - 3)$

Сократим обе части уравнения на $\frac{g}{2}$:

$2t - 1 = 3(2t - 3)$

$2t - 1 = 6t - 9$

$6t - 2t = 9 - 1$

$4t = 8$

$t = 2$ с

Мы нашли общее время падения. Теперь можем найти начальную высоту $h$, с которой падало тело, используя полное время падения $t=2$ с:

$h = S(t) = \frac{gt^2}{2}$

$h = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 4}{2} = 19.6$ м

Ответ: тело падало с высоты $h = 19.6$ м.