Номер 211, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с
Промежуток времени в конце падения: $t_{посл} = 1$ с
Путь, пройденный за $t_{посл}$: $s_{посл} = h/2$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\Delta t$ - ?
$h$ - ?

Решение

Движение тела является равноускоренным (свободное падение) без начальной скорости. Путь, пройденный телом за время $t$, определяется формулой:

$s(t) = \frac{g t^2}{2}$

Пусть $\Delta t$ - полное время падения тела, а $h$ - полная высота падения. Тогда весь путь $h$ равен:

$h = \frac{g (\Delta t)^2}{2}$ (1)

За время $(\Delta t - 1)$ с, то есть за всё время, кроме последней секунды, тело пройдет путь $h_1$:

$h_1 = \frac{g (\Delta t - 1)^2}{2}$ (2)

Путь, пройденный телом за последнюю секунду падения, равен разности полного пути $h$ и пути $h_1$:

$s_{посл} = h - h_1$

По условию задачи, за последнюю секунду тело проходит половину всего пути, то есть $s_{посл} = \frac{h}{2}$.

Подставив это условие в предыдущее уравнение, получаем:

$\frac{h}{2} = h - h_1$

Отсюда следует, что путь, пройденный за время $(\Delta t - 1)$ с, также равен половине всего пути:

$h_1 = \frac{h}{2}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $h_1$ и $h$ из формул (1) и (2):

$\frac{g (\Delta t - 1)^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{g}{2}$:

$(\Delta t - 1)^2 = \frac{(\Delta t)^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:

$2 \cdot ((\Delta t)^2 - 2\Delta t + 1) = (\Delta t)^2$

$2(\Delta t)^2 - 4\Delta t + 2 = (\Delta t)^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\Delta t$:

$(\Delta t)^2 - 4\Delta t + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$\Delta t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Получаем два возможных значения для времени падения:

$\Delta t_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 \approx 3.414$ с

$\Delta t_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 \approx 0.586$ с

Поскольку полное время падения $\Delta t$ должно быть больше, чем длительность последнего отрезка времени (1 с), корень $\Delta t_2$ не имеет физического смысла. Следовательно, полное время падения равно:

$\Delta t = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$ с

Теперь найдем полную высоту падения $h$, используя формулу (1) и найденное значение $\Delta t$:

$h = \frac{g (\Delta t)^2}{2} = \frac{g (2 + \sqrt{2})^2}{2}$

Возведем в квадрат выражение в скобках: $(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$.

$h = \frac{g (6 + 4\sqrt{2})}{2} = g (3 + 2\sqrt{2})$

Подставим числовое значение $g \approx 9.8$ м/с²:

$h \approx 9.8 \cdot (3 + 2 \cdot 1.414) = 9.8 \cdot (3 + 2.828) = 9.8 \cdot 5.828 \approx 57.1144$ м

Округляя, получаем $h \approx 57.1$ м.

Ответ: Промежуток времени падения $\Delta t = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$ с, высота падения $h = g (3 + 2\sqrt{2}) \approx 57.1$ м.