Номер 207, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 20.0$ м

$v_0 = 0$ м/с

$\Delta h_1 = 1.0$ м (первый метр)

$\Delta h_2 = 1.0$ м (последний метр)

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Найти:

$\Delta t_1$ - ?

$\Delta t_2$ - ?

Решение:

Тело падает свободно без начальной скорости. Путь, пройденный телом за время $t$, можно рассчитать по формуле для равноускоренного движения:

$S(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$S(t) = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время $t$, за которое тело пройдет расстояние $S$:

$t = \sqrt{\frac{2S}{g}}$

а) Найдем промежуток времени $\Delta t_1$, за который тело пройдет первый метр пути. Для этого в формулу для времени подставим расстояние $S = \Delta h_1 = 1.0$ м:

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot \Delta h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.0 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{0.20408 \text{ с}^2} \approx 0.45175 \text{ с}.$

Поскольку движение начинается с момента времени $t=0$, искомый промежуток времени равен $\Delta t_1 = t_1$. Округляем результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($h = 20.0$ м).

$\Delta t_1 \approx 0.452 \text{ с}.$

Ответ: $\Delta t_1 \approx 0.452$ с.

б) Найдем промежуток времени $\Delta t_2$, за который тело пройдет последний метр пути. Это промежуток времени между моментом, когда тело прошло $S_{19} = h - \Delta h_2 = 20.0 - 1.0 = 19.0$ м, и моментом, когда оно прошло всю высоту $S_{20} = h = 20.0$ м.

Сначала найдем общее время падения $T_{20}$ с высоты $h = 20.0$ м:

$T_{20} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20.0 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{4.0816 \text{ с}^2} \approx 2.0203 \text{ с}.$

Теперь найдем время $T_{19}$, за которое тело пролетело первые $19.0$ м:

$T_{19} = \sqrt{\frac{2S_{19}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 19.0 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{3.8775 \text{ с}^2} \approx 1.9691 \text{ с}.$

Искомый промежуток времени $\Delta t_2$ равен разности этих времен:

$\Delta t_2 = T_{20} - T_{19} \approx 2.0203 \text{ с} - 1.9691 \text{ с} = 0.0512 \text{ с}.$

Ответ: $\Delta t_2 \approx 0.0512$ с.