Номер 208, страница 47 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Высота $h = 540$ м
Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:
$h_1, h_2, h_3$

Решение:
Тело падает свободно без начальной скорости, поэтому его движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом за время $t$, определяется формулой:
$s(t) = \frac{gt^2}{2}$
По условию, вся высота $h$ разделена на три участка $h_1, h_2, h_3$, на прохождение каждого из которых затрачивается одинаковое время. Обозначим это время как $\tau$.
Тогда:
Время прохождения участка $h_1$ равно $\tau$.
Время прохождения участков $h_1$ и $h_2$ равно $2\tau$.
Время прохождения всех трех участков (полное время падения) равно $3\tau$.
Найдем путь, пройденный телом за время $\tau$:
$h_1 = s(\tau) = \frac{g\tau^2}{2}$
Путь, пройденный телом за время $2\tau$, равен сумме $h_1 + h_2$:
$h_1 + h_2 = s(2\tau) = \frac{g(2\tau)^2}{2} = \frac{g \cdot 4\tau^2}{2} = 4 \cdot (\frac{g\tau^2}{2}) = 4h_1$
Отсюда можем выразить $h_2$:
$h_2 = 4h_1 - h_1 = 3h_1$
Полный путь, пройденный телом за время $3\tau$, равен общей высоте $h$:
$h = h_1 + h_2 + h_3 = s(3\tau) = \frac{g(3\tau)^2}{2} = \frac{g \cdot 9\tau^2}{2} = 9 \cdot (\frac{g\tau^2}{2}) = 9h_1$
Отсюда можем выразить $h_3$:
$h_3 = 9h_1 - (h_1 + h_2) = 9h_1 - 4h_1 = 5h_1$
Мы получили соотношение между участками: $h_1 : h_2 : h_3 = 1 : 3 : 5$.
Сумма длин всех участков равна общей высоте $h$:
$h = h_1 + h_2 + h_3 = h_1 + 3h_1 + 5h_1 = 9h_1$
Теперь, зная общую высоту $h = 540$ м, мы можем найти длины каждого участка:
$h_1 = \frac{h}{9} = \frac{540 \text{ м}}{9} = 60 \text{ м}$
$h_2 = 3h_1 = 3 \cdot 60 \text{ м} = 180 \text{ м}$
$h_3 = 5h_1 = 5 \cdot 60 \text{ м} = 300 \text{ м}$
Проверим: $h_1 + h_2 + h_3 = 60 + 180 + 300 = 540$ м.

Ответ: $h_1 = 60$ м, $h_2 = 180$ м, $h_3 = 300$ м.