Номер 204, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Период вращения планеты $T = 24 \text{ ч}$

На экваторе планеты тела невесомы.

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

В системе СИ:

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\rho$ — плотность вещества планеты.

Решение:

Состояние невесомости на экваторе означает, что сила всемирного тяготения $F_{тяг}$, действующая на тело, уравновешивается центробежной силой инерции. Величина центробежной силы равна по модулю центростремительной силе $F_{ц.с.}$, которая обеспечивает движение тела по окружности вместе с планетой.

Таким образом, условие невесомости можно записать как равенство сил:

$F_{тяг} = F_{ц.с.}$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M m}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $m$ — масса тела на экваторе, $R$ — радиус планеты.

Центростремительная сила выражается через угловую скорость вращения планеты $\omega$:

$F_{ц.с.} = m a_{ц} = m \omega^2 R$

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M m}{R^2} = m \omega^2 R$

Сократим массу тела $m$:

$G \frac{M}{R^2} = \omega^2 R$

Массу планеты $M$ можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $V$ по формуле $M = \rho V$. Объём планеты, которую мы считаем шаром, равен:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Тогда масса планеты:

$M = \rho \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим это выражение для массы в уравнение сил:

$G \frac{\rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \omega^2 R$

После сокращения $R^2$ в левой части получаем:

$G \rho \frac{4}{3} \pi R = \omega^2 R$

Теперь можно сократить радиус планеты $R$:

$G \rho \frac{4}{3} \pi = \omega^2$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в уравнение:

$G \rho \frac{4}{3} \pi = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$

Теперь выразим искомую плотность $\rho$:

$\rho = \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot \frac{3}{4 G \pi}$

Сократив $4$ и $\pi$, получим окончательную формулу:

$\rho = \frac{3\pi}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\rho = \frac{3 \cdot 3,14}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot (86400 \text{ с})^2} = \frac{9,42}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7464960000 \text{ м}^3/(\text{кг}\cdot\text{с}^2) \cdot \text{с}^2}$

$\rho \approx \frac{9,42}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,465 \cdot 10^9 \text{ м}^3/\text{кг}} \approx \frac{9,42}{0,498 \text{ м}^3/\text{кг}} \approx 18,9 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность вещества планеты составляет примерно $18,9 \text{ кг/м}^3$.