Номер 198, страница 46 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус орбиты первого спутника $R_1 = R$

Радиус орбиты второго спутника $R_2 = 3R$

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$ — ?

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу:

$F_{т} = F_{ц}$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник массой $m$ со стороны Земли массой $M$ на расстоянии $r$ от её центра, определяется формулой:

$F_{т} = G \frac{Mm}{r^2}$

Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$, равна:

$F_{ц} = \frac{mv^2}{r}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$G \frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Упростим уравнение, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда можем выразить скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Из этой формулы видно, что скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты.

Теперь найдем скорости для каждого из спутников.

Для первого спутника с радиусом орбиты $R_1 = R$:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Для второго спутника с радиусом орбиты $R_2 = 3R$:

$v_2 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}$

Найдем отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{3R}}} = \sqrt{\frac{\frac{GM}{R}}{\frac{GM}{3R}}} = \sqrt{\frac{GM}{R} \cdot \frac{3R}{GM}} = \sqrt{3}$

Таким образом, скорость первого спутника больше скорости второго в $\sqrt{3}$ раз.

Ответ: Модуль скорости первого спутника больше модуля скорости второго спутника в $\sqrt{3}$ раз.