Номер 192, страница 45 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$k = 10\%$

$R_З \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

$k = 0.1$ (в долях)

$R_З \approx 6.4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$h$

Решение:

Запишем закон всемирного тяготения для тела массой $m$ на поверхности Земли (высота $h=0$). Расстояние до центра Земли равно ее радиусу $R_З$.

$F_0 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли.

Теперь запишем тот же закон для тела на высоте $h$ над поверхностью. Расстояние до центра Земли будет равно $R_З + h$.

$F_h = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию, сила тяготения на высоте $h$ уменьшилась на $k = 10\%$. Это означает, что сила $F_h$ составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от начальной силы $F_0$.

$F_h = (1 - \frac{k}{100\%}) \cdot F_0 = (1 - 0.1) \cdot F_0 = 0.9 \cdot F_0$

Приравняем два выражения для $F_h$:

$G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2} = 0.9 \cdot G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократим общие множители $G, M_З, m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{0.9}{R_З^2}$

Перевернем дроби (или умножим крест-накрест):

$(R_З + h)^2 = \frac{R_З^2}{0.9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$R_З + h = \sqrt{\frac{R_З^2}{0.9}} = \frac{R_З}{\sqrt{0.9}}$

Выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{R_З}{\sqrt{0.9}} - R_З = R_З \left( \frac{1}{\sqrt{0.9}} - 1 \right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$h \approx 6400 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{0.9}} - 1 \right) \approx 6400 \cdot \left( \frac{1}{0.9487} - 1 \right) \approx 6400 \cdot (1.0541 - 1) = 6400 \cdot 0.0541 \approx 346.24$ км

Округлим результат до целого значения.

Ответ: высота, на которой сила тяготения уменьшится на 10%, составляет приблизительно $h \approx 346$ км.