Номер 189, страница 44 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$m_1 = 1.0$ кг
$m_2 = 3.0$ кг
$a = 2.0 \text{ м/с}^2$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$F_д$ - модуль силы давления на ось блока.

Решение

Рассмотрим движение системы в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Направим ось OY вертикально вниз. Блок вместе со всей системой движется вниз с ускорением $a$.

На грузы действуют силы тяжести ($m_1g$ и $m_2g$) и сила натяжения нити $T$. Так как нить и блок невесомы и трение отсутствует, сила натяжения нити одинакова по всей ее длине.

Поскольку $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет опускаться относительно блока, а груз $m_1$ — подниматься. Обозначим модуль этого относительного ускорения как $a_{отн}$. Тогда абсолютные ускорения грузов (относительно Земли) будут равны:

• для груза $m_1$, который движется вверх относительно блока: $a_1 = a - a_{отн}$
• для груза $m_2$, который движется вниз относительно блока: $a_2 = a + a_{отн}$

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось OY (направленную вниз):

Для груза $m_1$: $m_1g - T = m_1a_1 = m_1(a - a_{отн})$ (1)

Для груза $m_2$: $m_2g - T = m_2a_2 = m_2(a + a_{отн})$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $T$ и $a_{отн}$. Нам необходимо найти силу натяжения нити $T$. Для этого решим систему. Выразим $a_{отн}$ из первого уравнения и подставим во второе, но удобнее выразить $T$ из обоих и приравнять.

$T = m_1g - m_1a + m_1a_{отн}$

$T = m_2g - m_2a - m_2a_{отн}$

Приравнивая правые части, найдем $a_{отн}$:

$m_1g - m_1a + m_1a_{отн} = m_2g - m_2a - m_2a_{отн}$

$a_{отн}(m_1 + m_2) = (m_2 - m_1)g - (m_2 - m_1)a$

$a_{отн} = \frac{(m_2 - m_1)(g - a)}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденное $a_{отн}$ в одно из выражений для $T$. Например, в первое:

$T = m_1(g - a) + m_1a_{отн} = m_1(g - a) + m_1\frac{(m_2 - m_1)(g - a)}{m_1 + m_2}$

$T = m_1(g - a)\left(1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right)$

$T = m_1(g - a)\left(\frac{m_1 + m_2 + m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right)$

$T = m_1(g - a)\frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1m_2(g - a)}{m_1 + m_2}$

Сила давления $F_д$ на ось блока создается натяжением нити с обеих сторон. На блок действуют две силы натяжения нити $T$, направленные вниз. Сила давления на ось равна сумме этих сил, так как блок по условию легкий (невесомый).

$F_д = T + T = 2T$

Подставим выражение для $T$:

$F_д = 2 \cdot \frac{2m_1m_2(g - a)}{m_1 + m_2} = \frac{4m_1m_2(g - a)}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$F_д = \frac{4 \cdot 1.0 \text{ кг} \cdot 3.0 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 - 2.0 \text{ м/с}^2)}{1.0 \text{ кг} + 3.0 \text{ кг}}$

$F_д = \frac{12 \cdot 8.0}{4.0} \text{ Н} = 3 \cdot 8.0 \text{ Н} = 24 \text{ Н}$

Ответ: $F_д = 24$ Н.